Problema derivadas cálculo
Un niño hace volar una cometa sosteniendo el hilo a 1,5 m del suelo y lo va soltando a razón de 60 cm/s, mientras la cometa se desplaza horizontalmente a una altura de 105,1 m. Suponiendo que el hilo se mantiene recto debido a la tensión, ¿Cual es la rapidez con la que se mueve la cometa cuando se han soltado 125 m de hilo?
Muchas gracias
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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En el instante 0 la cometa está a 105,1 m de altura en vertical con el niño.
El cable mide 105.1 - 1.5 = 103.6 m en ese instante.
Y cada segundo que pase medirá 0.6 m más. Luego la función longitud del cable es
c(t) = 103.6 + 0.6t
Y la función posición de la cometa la obtenemos por el teorema de Pitágoras
$$\begin{align}&x(t)=\sqrt {[c(t)]^2-103.6^2}=\\ &\\ &\sqrt{[c(t)]^2-10732.96}\\ &\\ &\text{No cambiamos c(t) por su valor, es mejor así}\\ &\\ &v(t)=x'(t)=\frac{2c(t)·c'(t)}{ 2 \sqrt{[c(t)]^2-10732.96}} =\\ &\\ &\\ &como\; c(t) = 103.6+0.6t\implies c'(t)=0.6\\ &\\ &=\frac {0.6\,·\,c(t)}{\sqrt{[c(t)]^2-10732.96}}\\ &\\ &\text{Sea cual sea el valor de t solo nos importa que c(t)=125}\\ &\\ &v(?)=\frac{0.6\,·\,125}{\sqrt{125^2-10732.96}}=\\ &\\ &\frac{75}{69.94311975}=1.0723\,m/s\end{align}$$Y eso es todo.
