Duda sobre un ejercicio de limites y continuidad en dos variables

hola:

lo que pasa es que estoy viendo limites y continuidad en dos variables en realidad el tema me parece fácil pero a la hora de hacer un ejercicio no llego a la respuesta que es la verdad no se que estoy haciendo mal y quisiera que me explicaras como podría resolver este tipo de ejercicios por ejemplo estoy haciendo este ejercicio

me piden analizar la continuidad de las funciones f y g

(4x^2y^2)/ (x^2 + y^2) , (x,y) (diferente) (0,0)

f(x,y) =

0, (x,y) = 0

(4x^2y^2)/(x^2+y^2) , (x,y) (diferente) (0,0)

g(x,y)

2 , (x,y) =(0,0)

la respuesta que da en el libro es:

f es continua. G es continua excepto en (0,0)

a mi f si me da continua pero g no entonces no se que estoy haciendo mal o de pronto no se muy bien como resolver limites de dos variables gracias por tu ayuda!!!

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Los límites en dos variables si que pueden ser complicados. Ahora tengo que dejar el ordenador unas horas y puede que tenga que repasar para responder tu pregunta, pero la intentaré cuando pueda.

a ok ojala me puedas ayudar pero de todas formas muchísimas gracias!!!

a) Bueno, se ve claramente la función f es continua en todos los puntos salvo aquellos que anulen el denominador que tendremos que estudiarlos. Y el único punto que puede anular el denominador es (0,0). Debemos comprobar si el limite cuando x e y tienden a cero es igual al valor de la función en (0,0) que es cero.

$$\begin{align}&\left|\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}-0\right|\le \left|\frac{4x^2y^2}{x^2}\right|=4y^2\le \\ &\\ &4(x^2+y^2)\le 4 \sqrt{x^2+y^2} \\ &\\ &\text{Esto último es si tomamos }\delta \lt 1 \text { se cumple} \\ &\\ &0\lt \sqrt{x^2+y^2}\lt \delta \lt1 \implies x^2+y^2 \lt \sqrt{x^2+y^2}\\ &\text{ya que toda raíz cuadrada de un número menor que 1}\\ &\text{es mayor que ese número}\\ &\\ &\text{Entonces dado }\epsilon \gt 0 \text{ tomaremos }\delta = min\left(\frac{\epsilon}{4},1\right)\\ &\\ &\\ &\left|\frac{4x^2y^2}{x^2+y^2}-0\right|<4\delta=4 \frac{\epsilon}{4}= \epsilon\end{align}$$

Luego en (0,0) coinciden el límite y el valor de la función , por tanto es continua.

b) G es la misma función que f salvo en el punto (0,0), ya vimos en el apartado anterior que el limite en (0,0) era cero, luego g no es continua en (0,0) porque no coinciden el límite y el valor de g(0,0)=2

Y eso es todo.

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