Integral división desarrollo

Hola experto el siguiente ejercicio es de integrales es una división pero me gustaría saber cual es el método mas sencillo y rapido de hacer.

Calcula:

$$\int \frac{x-1}{x+1}dx$$

Muchísimas gracias.

Saludos.

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El método más rapido es ver que eso es

1- 2/(x+1)

Pero es difícil explicar como lo he hecho basándome en el algoritmo de la suma de fracciones

$$1+\frac {a}{x+1}= \frac{x+1+a}{x+1}$$

Y como el numerador tenía que valer x-1 y valía x+1+a tenía que valer a=-2

Pero para divisiones más difíciles tendrás que usar el algoitmo de la división entera, o el de la sintética si el divisor es de la forma x-a.

Con cualquiera de los dos haberíuas llegado a que el cociente es 1 y el resto -2

Recuerda esta propiedad de la división

D = dc + r

Dividendo = divisor por cociente más resto.

Si divides todo por el divisor

D/d = c + r/d

Y así queda la integral racional como suma de un polinomio y otra racional pero con el grado del numerador menor que el del denominador.

Es imprescindible esta paso cuando el grado del numerador es igual o mayor que el denominador

Y una vez que hemos llegado a

(x-1) / (x+1) = 1 - 2/(x+1)

la integración ya es inmediata

x - 2·ln(x+1) + C

Y eso es todo.

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