Longitud de arco.

El libro te indica que la longitud del camino es la integral de la norma de la derivada entre los extremos.

$$\begin{align}&l(f)=\int_a^b ||f'(t)||dt\\ &\\ &\\ &y=ln\,cosx\quad 0\le x \le \pi/3\\ &\\ &\text{la parametrizamos así}\\ &\\ &f(t)=(t, ln\,\cos t)\\ &\\ &f'(t)=\left(1, -\frac{sen\,t}{\cos t}\right)\\ &\\ &\\ &l(f)=\int_0^{\pi/3}\sqrt{1^2+\frac{sen^2t}{\cos^2t}}dt=\\ &\\ &\\ &\int_0^{\pi/3}\sqrt{\frac{\cos^2t+sen^2t}{\cos^2t}}dt=\\ &\\ &\\ &\int_0^{\pi/3}\frac {dt}{cost}=\int_0^{\pi/3} \frac {\cos t}{\cos^2 t}dt =\\ &\\ &\\ &\int_0^{\pi/3} \frac {\cos t}{1 - sen^2\, t}dt =\\ &\\ &z= sent\quad dz = \cos t\, dt\\ &t=0 \implies z = 0\\ &t=\pi/3 \implies z= \frac{\sqrt 3}{2}\\ &\\ &\\ &=\int_0^{\sqrt 3 / 2} \frac{dz}{1-z^2}=\\ &\\ &\\ &\int_0^{\sqrt 3 / 2}\left( \frac{a}{1+z}+ \frac{b}{1-z}\right)dz=\\ &\\ &a(1-z)+b(1+z) = 1\\ &a+b=1\\ &-a+b=0\\ &2b=1\\ &b=\frac 12\\ &a=\frac 12\\ &\\ &=\frac 12\int_0^{\sqrt 3 / 2}\left(\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1-z}  \right)dz=\\ &\\ &\frac 12 \left[ln|1+z| - ln |1-z|  \right]_0^{\sqrt 3 / 2}=\\ &\\ &\frac 12\left(ln (1+\sqrt 3/2)-ln(1-\sqrt 3 / 2)-ln1+ln1  \right)\\ &\\ &\frac 12 \left(ln (1+\sqrt 3/2)-ln(1-\sqrt 3 / 2)\right)\end{align}$$

El 8 mándalo en otra pregunta nueva, ya tuve bastante trabajo con este.