Como puedo encontrar estos limites?

Si se entiende que es una función a trozos. Falta el valor de la función en x=1, seguramente uno de los dos signos de desigualdad deberías ser >= o <=, pero eso carece de importancia para lo que nos preguntan.

Tampoco dices en que punto hay que calcular el límite, pero se supone que es en x=1

En un punto hay un límite por la derecha y un límite por la izquierda. SI coinciden los dos decimos que existe el límite y si no coinciden no existe el límite

El límite por la izquierda se calcula con el trozo de función para valores menores que 1 y el límite por la derecha con la función para valores mayores que 1

$$\begin{align}&\lim_{x\to 1-}f(x)=\lim_{x\to 1-}(x+3)=1+3 = 4\\ &\\ &\lim_{x \to 1+}f(x) = lim_{x\to 1+}(2) = 2\end{align}$$

No coinciden, luego no hay límite

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Si la función hubiera sido

f(x) = {x+3 si x <-1
        2 si x >-1

entonces el límite derecho e izquierdo en -1 coincidirían, pero esto es solo a título informativo, el del enunciado no existe.

Y eso es todo.