Ejercicio derivación cálculo
Una embarcación se atrae hacia el muelle de atraque con ayuda de un cable sujeto a la proa que se enrolla en un torno a una velocidad de 3m/min. Determinar la velocidad de la embarcación cuando se encuentra a 12 m del muelle si el torno está situado 4 m por encima de la proa
1 respuesta
La velocidad sera la derivada de la función de posición respecto del tiempo.
En t=0 la posición es 12 m
x(0) = 12
Hallamos la medida del cable por el teorema de Pitágoras
c(0) = sqrt(12^2 + 4^2) = sqrt(160) = 4sqrt(10)
En el instante t medido en minutos la longitud del cable será
c(t) = 4sqrt(10) - 3t
con lo cual la posición será:
$$\begin{align}&x(t) =\sqrt{[c(t)]^2-4^2}=\\ &\\ &\sqrt{(4 \sqrt {10} -3t)^2-16}\\ &\\ &\\ &v(t)=x'(t)=\frac{2(4 \sqrt {10} -3t)(-3)}{2 \sqrt{(4 \sqrt {10}-3t)^2-16}}=\\ &\\ &-\frac{12 \sqrt{10}-9t}{\sqrt{(4 \sqrt {10}-3t)^2-16}}\\ &\\ &\\ &v(0)=-\frac{12 \sqrt{10}}{\sqrt{(4 \sqrt {10})^2-16}}=-\frac{12 \sqrt{10}}{12}=-\sqrt{10}\; m/min\end{align}$$El signo - es porque el barco se mueve desde una posición positiva hacia la posición 0 en el sistema que hemos empleado, pero no hay ningún problema en ponerla como positiva.
Y eso es todo.
