Resuelve la desigualdad

Resolvemos la desigualdad y hallaremos la respuesta.

$$\begin{align}&1-5x \lt \frac{8x}{|4x|+4}\\ &\\ &Si \;x\ge0\implies |x|=x\\ &\\ &1-5x \lt \frac{8x}{4x+4}\\ &\\ &(1-5x)(4x+4) \lt 8x\\ &\\ &4x+4 -20x^2-20x \lt 8x\\ &\\ &-20x^2 -24x +4 \lt 0\\ &\\ &-5x^2-6x +1 \lt 0\\ &\\ &5x^2+6x -1 \gt 0\\ &\\ &\text {Hallamos las raíces}\\ &\\ &x=\frac{-6\pm \sqrt{36+20}}{10}=\frac{-6\pm{\sqrt{56}}}{10}=\\ &\\ &\frac{-6\pm 2 \sqrt{14}}{10}=\frac{-3\pm \sqrt{14}}{5}\end{align}$$

La ecuación es positiva a la izquierda de la raíz menor y a la derecha de la raíz mayor.

Además x debe ser positivo. Si hacemos las cuentas la raíz menor es negativa, luego su izquierda es negativa y no sirve. Y la raíz mayor es positiva luego todo a su derecha es positivo y es solución de la desigualdad.

La respuesta que ha salido es la c.

Pero nos podríamos preguntar si se han equivocado al no poner soluciones menores que 0. Vamos a comprobar que no

$$\begin{align}&1-5x \lt \frac{8x}{|4x|+4}\\ &\\ &Si \;x\le 0\implies |x|=-x\\ &\\ &1-5x \lt \frac{8x}{-4x+4}\\ &\\ &-4x+4+20x^2-20x \lt 8x\\ &\\ &20x^2-32x+4\lt 0\\ &\\ &5x^2-8x+1\lt 0\\ &\\ &\text{Las raíces son:}\\ &\\ &x=\frac{8\pm \sqrt{64-20}}{10}=\frac{8\pm \sqrt{44}}{10}\end{align}$$

Esa parábola es menor que 0 entre las dos raíces, pero las dos raíces son positivas y estábamos considerando que x < 0 luego en la zona negativa no hay soluciones de la desigualdad y la respuesta es la c.

Y eso es todo.