Rango de una matriz

Debemos conseguir filas con todo ceros, para los valores de k que se consiga eso el rango será el numero de filas con algún elemento distinto de cero

Pues lo primero se restar la primera fila a la segunda y quedará

 k^2    1   1
1-k^2  k-1  0
  1 1 0

Cualquier combinación lineal de la primera fila que sumemos a las otras hará que se pierda el cero que tienen en la tercera columna. Y cualquiera de las otras dos tendrá cero en la tercera con lo que no podremos quitar el 1 del tercer elemento de la primera fila. Luego la única forma de conseguir una fila con todo ceros es que la segunda y tercera sean iguales o proporcionales, porque una vez que sean proporcionales se multiplica una de ellas por la razón de manera que queden iguales y después se restan y ya está una fila con todo ceros.

Y la segunda fila será proporcional con la tercera si el primer elemento es igual al segundo, luego

1-k^2 = k-1

k^2 + k - 2 = 0

Y resolvemos esta ecuación de segundo grado

k = [-1 +- sqrt(1+8)] / 2 = (-1 +- 3) / 2 = 1 y -2.

Y una vez hayamos conseguido que la fila segunda o tercera sea cero con cualquiera de esos dos valores de k es imposible ya conseguir una segunda fila con ceros.

Luego

Rango = 2 si k=1 o k=-2

Rango=3 en caso contrario

Y eso es todo.