Las derivadas de las funciones x
integrar por descomposición de fracciones parciales
integral de[(x^3-2x^2+x+1) / (x^4+5x^2+4)]dx
Saludos
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Las raíces del denominador se calculan mediante una ecuación bicuadrada.
$$\begin{align}&x^4+5x^2+4=0\\ &\\ &x^2=\frac{-5\pm \sqrt{25-16}}{2}=\\ &\\ &\frac{-5\pm 3}{2}=-4\; y -1\\ &\\ &x=i, -i, 2i,-2i\end{align}$$¡Que horror! Cuatro raíces complejas. Esto tendré que repasarlo, no me acuerdo cómo se hacía. De paso haré alguna otra cosa antes de repasarlo.
El denominador será
(x-i)(x+i)(x-2i)(x+2i)
que se puede poner como
(x^2 - i^2) [x^2 -(2i)^2] =
(x^2+1)(x^2+4)
Y entonces la descomposición es esta:
$$\begin{align}&\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{cx+d}{x^2+4}=\\ &\\ &\frac{(ax+b)(x^2+4)+(cx+d)(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+4)}=\\ &\\ &\frac{(a+c)x^3+(b+d)x^2+(4a+c)x+4b+d}{(x^2+1)(x^2+4)}\\ &\\ &\text{igualando este denominador con el de la integral} \text{tenemos por un lado}\\ &\\ &a+c = 1\\ &4a+c = 1\\ &\text{restando}\\ &3a = 0 \implies a=0\implies c=1\\ &\\ &\text{y por el otro lado}\\ &b+d = -2\\ &4b+d=1\\ &\text{restando}\\ &3b =3\implies b=1\implies d=-3\\ &\\ &\text{Con esto la integral que queda es}\\ &\\ &\int\left( \frac{1}{x^2+1}+\frac{x-3}{x^2+4}\right)dx=\\ &\\ &\\ &arctgx +\int \frac{x-3}{x^2+4}dx=\\ &\\ &arctgx+ \frac 12\int \frac{2x-6}{x^2+4}dx=\\ &\\ &arctgx+\frac 12\int \frac{2x}{x^2+4}dx-3\int \frac{dx}{x^2+4}=\\ &\\ &arctgx+\frac{ln|x^2+4|}{2}-\frac 34\int \frac{dx}{\left( \frac x2\right)^2+1}=\\ &\\ &arctgx+\frac{ln|x^2+4|}{2}-\frac 64\int \frac{\frac 12dx}{\left( \frac x2\right)^2+1}=\\ &\\ &arctgx+\frac{ln|x^2+4|}{2}-\frac 32 arctg \frac x2\end{align}$$Y eso es todo.
