Problema de Cálculo Integral de volumen

Cuando gira alrededor del eje Y tienes que poner la función como función de y, y los límites también entre dos valores de y.

Veamos a ver si podemos hacer los primero, porque no lo veo nada claro

$$\begin{align}&y=\frac{1}{x^2 \sqrt{x^4-16}}\\ &\\ &x^2 \sqrt{x^4-16}=\frac 1y\\ &\\ &x^4(x^4-16) =\frac{1}{y^2}\\ &\\ &x^8 -16x^4 =\frac {1}{y^2}\\ &\\ &x^8 - 16x^4+ 64 = \frac 1{y^2}+64\\ &\\ &(x^4-8)^2 =\frac 1{y^2}+64\\ &\\ &x^4-8 = \pm \sqrt{\frac 1{y^2}+64}\\ &\\ &x^4=8\pm \sqrt{\frac 1{y^2}+64}\\ &\\ &x =\pm \sqrt[4]{8\pm \sqrt{\frac 1{y^2}+64}}\\ &\text{Si el segundo }\pm \text{es - sale función compleja}\\ &\\ &x =\pm \sqrt[4]{8+ \sqrt{\frac 1{y^2}+64}}\\ &\\ &\\ &\\ &\text{El volumnen será algo como}\\ &\\ &\\ &\pi \int_a^b \sqrt{8+ \sqrt{\frac 1{y^2}+64}}\;dy\\ &\end{align}$$

Y esa es una de las integrales que no tiene primitiva expresable como funciones elementales, lo he comprobado con Máxima, Derive y Wolframalpha

Luego habrán tenido un error en el enunciado, este problema no se puede resolver por los métodos habituales, se necesitaría hacerlo por integración numérica y no creo que sea el caso de este.

Este es el dibujo que mando ya que me costó hacerlo. Abajo en azúl está la función, pero como era tan plana he hecho arriba en rojo otra no tan plana pero de la misma forma para que se vea el proceso que habria que hacer, Pero el proceso mal puede hacerse si no se puede hacer la integral.

Y eso es todo, espero que te sirva.

Va fatal internet, no se si podré mandarte la respuesta ni cuándo podré responder otras.