Envolvente de una familia de segmentos

hola. Tengo que hallar la envolvente de la familia de segmentos que unen los puntos

(cos(pt),sen(pt)) y (cos(qt),sen(qt)), con p y q distintos, y t entre 0 y 1. ¿Como se podría hacer?

Muchísimas gracias de antemano

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5.854.275 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

No sé que estarás estudiando ni que teoría has dado. La que yo di es que dada una familia de curvas dependientes de parámetro t, que representamos en forma implícita por

g(x,y,t) = 0

la envolvente puede calcularse a partir de estas dos ecuaciones

$$\left \{ \begin{array} g(x,y,t)=0 && \\ \\
\frac {\partial g(x,y,z)}{\partial t}=0
\end{array}
\right.$$

Donde puede despejarse t en ambas ecuaciones y así obtener y como función de x

y = f(x)

Bueno, eso es la teoría. Pero depende las ecuaciones que queden veremos como es de fácil de hacerlo.

Lo primero es calcular la expresión de la familia de curvas. Es hallar la ecuación d las rectas conocidos dos puntos que son

(cos(pt),sen(pt)) y (cos(qt),sen(qt))

$$\begin{align}&\frac{x-\cos pt}{\cos qt - \cos pt}= \frac{y-sen \, pt}{sen \,qt- sen \,pt}\\ &\\ &\\ &(x-\cos pt)(sen \,qt- sen \,pt)-(y-sen \, pt)(\cos qt - \cos pt)=0\\ &\\ &x(sen \,qt- sen \,pt)- \cos pt·sen \, qt+\cos pt ·sen \, pt -\\ &y(\cos qt - \cos pt) + sen \, pt·\cos qt-sen \,pt·\cos pt= 0\\ &\\ &\\ &x(sen \,qt- sen \,pt)- \cos pt·sen \, qt-\\ &y(\cos qt - \cos pt) + sen \, pt·\cos qt = 0\end{align}$$

$$\left \{ \begin{array}  
\, x(sen \,qt- sen \,pt)-y(\cos qt - \cos pt) + sen \, (pt-qt) = 0  \\ \\
\, x(q \cos qt- p \cos pt)+y(q sen \, qt -p sen \, pt) +(p-q)\cos(pt-qt)= 0
\end{array} \right.$$

Y quien de ese sistema de ecuaciones pueda obtener la relación entre x e y tiene mi máxima estimación.

¿Es un problema que se supone tiene solución o es un problema que estás intentando por tu cuenta?

Tal vez haya que revertir la simplificación que hice del sen(pt-qt) para ver si sale algo.

Yo ya no puedo hacer más. No olvides puntuar.

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