Probabilidad de elegir el color de la automotriz
Una manufacturera automotriz desea conocer la preferencia de los clientes por los colores ocre o índigo del modelo de lujo, pues sólo uno saldrá al mercado. Se invitó a los 20 mejores vendedores para que opinaran y se encontró que 12 prefieren el color ocre, 7 el índigo y uno indeciso.
En un nivel del 10% probar si
H_0 : cualquier color gustara por igual a los clientes.
H_1: hay preferencia por alguno de los colores de los clientes.
1 Respuesta
El número de encuestados no es suficiente para poder usar el contraste que se usa en estos casos, se exige que n1·p1, n1(1-p1), n2·p2 y n2·(1. P2) sean mayores que 5, en este caso los que eligieron el color índigo no lo cumplen 7·(7/19) = 2.5789
Y no encuentro en ningún lado el contraste para diferencia de proporciones con muestras pequeñas. No se si tu sabrás algo al respecto. Tal vez lo hayáis usado si habéis hecho un ejercicio de este tipo. ¿O a lo mejor habéis pasado de eso y habéis usado el método como si fueran muchos? Te agradecería que me dieras información si la tienes. Entretanto tendré que aparcar la pregunta porque no la puedo hacer directamente y ahora tengo bastantes pendientes de respuesta.
De los 20 encuestados hubo 1 que no contestó vamos a prescindir de el. Los resultados los interpretamos como le gusta el color ocre o no, entonces tenemos una binomial de 19 elementos B(19, p)
La hipótesis nula se transforma en
Ho: p=0.5
H1: p<>0.5
Como te decía la muestra es pequeña para usar la aproximación de la binomial por una normal, trabajaremos directamente con la binomial. Suponiendo que p=0.5 hallaremos los valores de la binomial mas alejados de la media que concentren el 10% de la probabilidad. Si el 12 está entre ellos se rechazara H0, si no lo está se mantendrá.
La probabilidad de una binomial es
P(k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)
Es este caso como suponemos p=0.5 tenemos (1-p) = 0.5 y se simplifica la fórmula
P(k) = C(n,k)·p^n
P(k) = C(19,k)·0.5^19
Por otro lado tenemos que los números combinatorios son simétricos respecto de los extremos
C(19,0) = C(19,19)
C(19,1) = C(19,18)
C(19,2) = C(19,17)
etc
Luego basta estudiar por un lado y contabilizar hasta el 5%, es decir hallar un sumatorio de P(i) desde i=0 hasta donde see tal que el sumatorio sea 0.05
El 0.5^19 lo sacamos fuera del sumatorio por ser una constante
0.05 = 0.5^19· Sumatorio C(19,i)
Sumatorio C(19,i) = 0.05 / 0.5^19 = 0.05 / 0.00000190734... = 26214.4
Luego sumaremos los números combinatorios del 19 desde i=0 hasta que sumen 26214.4
C(19,0) = 1
C(19,1) = 19
C(19,2) = 19·18/2 = 171
C(19,3) = 19·18·17 / 6 = 969
C(19,4) = C(19,3)·16 / 4 = 969·4 = 3876
C(19,5) = C(19,4)·15/5 = 3876·3 = 11628
C(19,6) = C(19,5)·14/6 = 11628 · 7/3 = 27132
Hasta el 5 la suma no llegaba a 26214, con el 6 se pasa luego el 0.05 de probabilidad acumulada se da entre i=5 e i=6
Como quien manda es la hipótesis H0 se minimiza la zona de rechazo y será de 0 a 5
Pero lo que hemos calculado es la cola izquierda, la cola derecha es simétrica y la zona de rechazo que se corresponde por igualdad de números combinatorios es 14 a 19
Y el el 12 que dio la encuesta para el ocre no entra en la zona de rechazo, luego se mantiene H0 y la conclusión es que cualquier color gustara por igual a los clientes.
Y eso es todo.
