Duración y Convexidad de bonos

Pues es que de esto del precio, duración y convexidad son términos muy técnicos y el que no estudia estas matemáticas no conoce lo que significan.

Haré el ejercicio 4 de acuerdo a lo que dice la teoría que me has mandado.

Ejercicio 4
Se dispone de un bono con un nominal de 10.000 euros
Al que le quedan cinco años hasta la amortización y que paga un cupón
Anual del 6%, siendo la ETTI plana y el tipo de interés efectivo anual
el 5%, es decir, i = 5%. Calcular la duración del bono:
Las opciones son:
a.La duración es de 4,48 años.
b.La duración es de 4,67 años.
c.La duración es de 3,59 años.
d.La duración es de 3,88 años.

Primero hay que calcular el precio del bono

La formula es

P(R): [Sumatorio de t=1 hasta n de Ct(1+R·S/360)^(-t)] +VN(1+RS/360)^(-n)

Donde P es el precio

n: El número de cupones

Ct: el cupón pagado en el periodo t.

S: El número de días entre cada pago

R: Tasa de mercado al vencimiento

VN: Valor nominal del bono

El escrito es para técnicos, por eso da por sobreentendido lo que significa R, he tenido que hacer pruebas con el ejemplo que hay para averiguar que ese R es la tasa de mercado o lo que en este ejercicio se llama interés efectivo.

Ya con el ejercicio tenemos.

El cupón es anual, cada 360 días para el caso de nuestra fórmula, luego el 360/360 nos lo ahorraremos. Y su valor e:

Ct = 6% de 10000 = 600 €

P(5) = [Sumatorio t=1 hasta 5 de 600(1,05)^(-t)] + 10000(1,05)^(-5)

No costaría nada hacer la suma de los 5 términos primeros, pero ¿y si fuesen 20 o más?

Pues para eso está la fórmula de la suma de progresiones geométricas

Sn = a1[(r^n)-1](r-1)

donde r es la razón y a1 el primer término

La razón es (1,05)^(-1)

el primer término es 600(1,05)^(-1)

S5 = 600(1,05)^(-1) ·[(1,05)^(-5) -1] / [(1,05)^(-1) -1] = 2597,686

P(5) = 2597,686 + 10000(1,05)^(-5) = 2597,686+7835.261665

P(5) = 10432,94766€

Es un precio superior al nominal porque da más interés que el de mercado.

Y la duración es esa fórmula tan complicada que sale en el escrito y que mal vamos a poder representar aquí, pondremos simpliemente Sum(t) para el sumatorio en t

D=[S/(360P)]·{[Sum(t) de t·Ct(1+R·S/360)^(-t-1)] + n·VN(1+R·S/360)^(-n-1)}

Los S/360 ya sabemos que valdrán 1 porque los cupones se pagan anualmente. Esta vez no sirve la fórmula de la suma usada antes

D = (1/10432,94766) · {[Sum(t) de t·600·(1,05)^(-t-1)] + 50000(1,05)^(-6)}

Las sumas concretas son

600[(1,05)^(-2) + 2(1,05)^(-3) + 3(1,05)^(-4) + 4(1,05)^(-5) + 5(1,05)^(-6)] =

600·(15.32505225) = 9195,031351

D = (1/10432,94766) { 9195,031351 + 37310,76983) =

(46505,80118)/10432,94766 = 4,457589811

D = 4,457589811

Redondeado sería 4,46

Bueno, parecía mucho pedir que diese una respuesta exacta, pero la a que es 4,48 se parece bastante. Y pueden suceder tres cosas, que me haya equivocado, que se hayan equivocado, o que al ser cuentas tan complicadas si han abusado de redondeos les haya salido una respuesta inexacta. Esto último es bastante verosímil. Yo no voy a volver a repasar mis cuentas, menuda cabeza me ha dejado con este ejercicio.

Me parece muy raro que haya un ejercicio tan complicado al lado de otros insignificantes.

SI MANDAS EL DE LA convexidad a lo mejor lo intento también.

Perdona por la tardanza, pero aparte de ser complicado tenía una avalancha de preguntas de otros usuarios.