Ayuda en cálculo integral...
Quisiera una explicación de como sacar el volumen de un cilindro de cualquier medida mediante integrales..
1 Respuesta
¿Qué entiendes por cilindro?
La figura geométrica cuya base es un círculo y cuyas paredes son perpendiculares a la circunferencia y tiene otra base por arriba paralela a la de abajo.
La figura geométrica cuya base es cualquier figura plana conexa y tiene paredes perpendiculares a la curva que delimita la figura.
Sea como sea habría que calcular el área de la base y luego integrar esas áreas a lo largo del eje Z. Pero como todas las áreas son iguales a cualquier altura se trata de la integral de una constante y al final resulta que el volumen es el área de la base por la altura.
Luego lá única dificultad sera hallar el área de la base que si no es un círculo habrá que calcular seguramente con una integral.
No sé si es esto lo que querías, el enunciado tampoco explica mucho. Si era otra cosa dímelo.
lo que falto decir que es el tema de sólidos de revolución..
y lo que me interesa saber de los pasos para sacar el volumen de un cilindro y de un Cubo con integrales. las medidas pueden ser cualesquiera.
me explico mejor?
gracias por su ayuda
Como sólido de revolución el cilindro se genera a través de un segmento de recta paralelo al eje X girando alrededor de él (o lo mismo si es paralelo al eje Y y gira alrededor de él).
Suponiendo alrededor del eje X la función a integrar es la recta
y = r
Siendo r el radio del cilindro
Y los límites en el eje X serán dos puntos a y b donde la altura del cilindro es h=b-a
Y la fórmula del volumen de revolución es:
$$\begin{align}&V=\pi\int_a^b [f(x)]^2dx\\ &\\ &V_c=\pi\int_a^br^2dx=\pi r^2[x]_a^b=\\ &\\ &\pi r^2(b-a) = \pi r^2 h\end{align}$$Creo que esto es lo que querías.
Si es eso muchas gracias por su tiempo. Sólo que me eh puesto a investigar sobre el volumen del cubo también como sólidos en revolución y la verdad no eh encontrado nada concreto en ese sólido me podría ayudar en este ejercicio? Se lo agradecería más
Pero es que el cubo no es un solido de revolución, los sólidos de revolución tienen forma redondeada, como de alfarería.
entonces no se puede calcular el área de un cubo mediante integrales?? hay algún modo?
Hombre, si que se puede, pero no como sólido de revolución.
Si hubieras dado integrales triples te diría que se hace con la integral triple de elementos diferenciales dx dy dz que son cubitos infinitamente pequeños. Pero como supongo que no las has dado lo que se hace es dividir el cubo el finas lonchas y se suma el volumen de todas ellas. Cada loncha tendrá como volumen el área de la base por el diferencial de altura que es el grosor de esa loncha. Si llamamos a a la arista el área de la base es a^2.
Luego el volumen será
$$\begin{align}&V=\int_0^a a^2dz=\\ &\\ &a^2[z]_0^a = a^2(a-0) =a^3\end{align}$$que es el resultado que cabía esperar.
