Aplicación del criterio de la SEGUNDA derivada

Saludos

Encuentra los extremos relativos de la función:

f(x) = sqrt (x^2 + 2)

gracias

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5.857.350 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Hallaremos los ceros de la derivada primera.

$$\begin{align}&f(x) = \sqrt{x^2+2}\\ &\\ &f´(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\end{align}$$

Eso será cero cuando el numerador sea 0, luego

x=0

Se sabe que es un mínimo porque con x=0 es cuando vale menos el interior de la raíz cuadrada.

Pero parece que quieren que apliquemos el criterio de la derivada segunda

$$\begin{align}&f´´(x)=\frac{\sqrt{x^2+2}-x·\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x^2+2}=\\ &\\ &\\ &\frac{\frac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}}}{x^2+2}=\frac{2}{\sqrt{(x^2+2)^3}}\end{align}$$

Y la derivada segunda, para x=0 ( y cualquier valor) tiene un resultado positivo.

Eso significa que x=0 es un mínimo

Y el único extremo relativo es

(0, sqrt(2))

Que es el mínimo.

Y eso es todo.

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