Hallaremos los ceros de la derivada primera.
$$\begin{align}&f(x) = \sqrt{x^2+2}\\ &\\ &f´(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\end{align}$$
Eso será cero cuando el numerador sea 0, luego
x=0
Se sabe que es un mínimo porque con x=0 es cuando vale menos el interior de la raíz cuadrada.
Pero parece que quieren que apliquemos el criterio de la derivada segunda
$$\begin{align}&f´´(x)=\frac{\sqrt{x^2+2}-x·\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x^2+2}=\\ &\\ &\\ &\frac{\frac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}}}{x^2+2}=\frac{2}{\sqrt{(x^2+2)^3}}\end{align}$$
Y la derivada segunda, para x=0 ( y cualquier valor) tiene un resultado positivo.
Eso significa que x=0 es un mínimo
Y el único extremo relativo es
(0, sqrt(2))
Que es el mínimo.
Y eso es todo.