Me gustaría saber cual es la integral

Para calcular el volumen al girar alrededor del eje X se tiene que poner la curva como una función de x

x=1+y^2

y = +- sqrt(x-1)

Necesitamos conocer los puntos de intersección para calcular los límites de las integrales.

x1=1+1^2 = 2

x2=1+ 2^2 = 5

Y el volumen sera:

$$\begin{align}&V=\pi\int_0^2(2^2-1^2)dx+\pi\int_2^5\left[2^2-(\sqrt{x-1})^2\right]dx=\\ &\\ &\\ &\pi· \left.  3x\right|_0^2+\pi\int_2^5(5-x)dx=\\ &\\ &\\ &6\pi + \pi\left[5x-\frac{x^2}{2}  \right]_2^5=\\ &\\ &\\ &6\pi+\pi\left(25 - \frac{25}{2}-10+2 \right)=\\ &\\ &\\ &6\pi+\pi\left(17-\frac{25}{2}  \right)=\\ &\\ &\\ &6\pi +\frac 92\pi = \frac{21}{2}\pi\end{align}$$

Y eso es todo.