Demuestre, usando la fórmula de Euler, la siguiente identidad trigonométrica
4 cos^2 x + 3 sen^2 x = (7 / 2) + (cos(2x) / 2)
^= elevado
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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La fórmula de Euler dice
$$e^z=e^{x+iy}=e^x(cosy+iseny)$$Si la aplicamos a z=2iy tenemos de un lado
$$\begin{align}&e^{2iy} = (e^iy)^2 = (cosy+iseny)^2 =\\ &\\ &\cos^2y+ 2i·cosy·seny +i^2sen^2y=\\ &\\ &\cos^2y-sen^2y+2i·cosy·seny\\ &\\ &\text{y de otra parte}\\ &\\ &e^{2iy}= cos2y+isen2y\\ &\\ &\text{igaulando las partes reales e imaginarias}\\ &\\ &cos2y = \cos^2y-sen^2y\\ &sen2y = 2seny·cosy\\ &\\ &\text{Y nos piden demostrar esto}\\ &4 \cos^2 x + 3 sen^2 x = (7 / 2) + (\cos(2x) / 2)\\ &\\ &Sustituyamos\;cos2x\\ &\\ &4 \cos^2 x + 3 sen^2 x = \frac 72 + \frac{\cos^2x-sen^2x}{2}\\ &\\ &8cos^2x + 6sen^2x = 7 +\cos^2x-sen^2x\\ &\\ &7cos^2x+7sen^2x = 7\\ &7(\cos^2x+sen^2x)=7\\ &7=7\end{align}$$Luego es cierto. Aunque lo de tener que usar la fórmula de Euler para demostrar las identidades trigonométricas del ángulo doble, es matar moscas a cañonazos.
Y eso es todo.
Espera, por si llego a tiempo. En un problema anterior te di como respuesta -32, en realidad era -1/32 a lo mejor ya te diste cuenta.
