Ejercicio restante vectores de coordenadas y cambio de base

La verdad es que el tema este de los cambios de base nunca lo llevé bien, en general toda el álgebra superior, pero esto del cambio de base tampoco es muy difícil.

d) Determine las coordenadas de v y w respecto B1 de manera directa.

Vamos con v que es (3, 4), la base B1={(1,3) ,(-1, 2)} sean (a, b) las coordenadas

a(1, 3) + b(-1, 2) = (3, 4)

a - b = 3 ==> a=3+b

3a+2b = 4 ==> 3(3+b) +2b = 4 ==>9 +3b +2b = 4 ==> 5b=-5 ==> b = -1 ==> a=3-1=2

Luego las coordenadas de v son

(a, b) = (2, -1)

Que son las mismas que se calcularon en c)

Ahora vamos con w = (-4,5)

a(1, 3) + b(-1, 2) = (-4, 5)

a-b = -4 ==> a = b-4

3a+2b= 5 ==> 3(b-4)+2b=5 ==>3b-12+2b=5 ==> 5b = 17 ==> b = (17/5) ==>

a = 17/5 - 4 = -3/5

las coordenadas de w son (-3/5, 17/5)

No coinciden, creo que el fallo está en lo que hice ayer.

Pero el fallo no está en c) sino en a) cuando puse

-2y = -4 ==> y = 2
x + 3y = 5 ==> x + 6 = 5 ==> x = 5-6 = 1
Las coordenadas de w son (1,2)

el auténtico valor de x es 5-6 = -1

Y las coordenadas de w son (-1, 2)

Y luego en el apartado c) la multiplicación matrices buena era

$$w_{B_1}= \begin{pmatrix} 1/5&-1/5\\ 1/5&9/5 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}= \\ \begin{pmatrix} -1/5-2/5\\ -1/5 +18/5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3/5\\ 17/5 \end{pmatrix}$$

Y ahora si coinciden. Perdona por el fallo de ayer y toma nota de las correcciones.

e) Determine la matriz de transición de de B1 a B2

Podemos hacerlo como hicimos en b) solo que ahora habría que poner B1 en función de B2, es decir, poner (1, 3) y (-1, 2) como combinación lineal de (0, 1) y (-2, 3).

Serían cuentas parecidas. Pero según la teoría se puede hacer de otra forma, la matriz de transición de B1 a B2 es la inversa de la matriz de transición de B2 a B1. Vamos a hacerlo de esta forma. Se puede hacer por la matriz transpuesta de los adjuntos entre el determinante o por el método de Gauss. Siendo 2x2 no cuesta mucho el de los adjuntos.

La matriz B2 a B1 es

$$\begin{pmatrix}
1/5 &-1/5\\
1/5&9/5
\end{pmatrix}$$

el determinante es (1/5)(9/5)+(1/5)(1/5) = 9/25 + 1/25 = 10/25 = 2/5

La matriz de adjuntos es

$$\begin {pmatrix}
9/5&-1/5\\
1/5&1/5
\end{pmatrix}
\\
\text{La de adjuntos transpuesta es}
\\
\begin {pmatrix}
9/5&1/5\\
-1/5&1/5
\end{pmatrix}
\\
\text{Y dividir por 2/5, es multiplicar por 5/2}
\\
\begin {pmatrix}
9/2&1/2\\
-1/2&1/2
\end{pmatrix}$$

Y esa el matriz de transición de B1 a B2

f) Determine las coordenadas de v y w respecto a B2 usando la matriz de transición recién calculada.

Necesitamos las coordenadas de v y w respecto a B1, eso lo calculamos en d

$$v_{B_2}=\begin {pmatrix}
9/2&1/2\\
-1/2&1/2
\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix}
2\\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
17/2\\
-3/2
\end{pmatrix}
\\
w_{B_2}=\begin {pmatrix}
9/2&1/2\\
-1/2&1/2
\end{pmatrix}\times
\begin{pmatrix}
-3/5\\
17/5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1\\
2
\end{pmatrix}$$

No hice el paso intermedio de los cálculos porque el ordenador ya se bloquea por estar sobrecargada está respuesta. Le van muy mal las respuestas largas y con el editor de ecuaciones al ordenador, que no es malo por cierto.

Se comprueba que esa respuestas están bien y son las mismas que en el apartado a.

Y eso es todo.