Resolución ejercicio 24 vectores

El vector i' es la suma de dos vectores, uno paralelo al eje X y otro al eje Y. Como i es unitario tiene longitud 1 y podemos verlo como radio de la circunferencia unidad donde se definen los senos y los cosenos. El vector del eje X que corresponde a la suma es el coseno del ángulo fi y el vector del Y de la suma es el seno de fi.

Como i y j también son vectores de longitud 1, la suma de vectores que da el vector i' es

i' = cos(fi)·i + sen(fi)·j

Para el vector j' se hacen las mismas cuentas pero ahora el ángulo es fi+pi/2.

Entonces

cos(fi+pi/2) = cos(fi)cos(pi/2) - sen(fi)sen(pi/2) = -sen(fi)

sen(fi+pi/2) = sen(fi)cos(pi/2) + cos(fi)sen(pi/2) = cos(fi)

luego la cuenta anterior

j' = cos(fi+pi/2)·i + sen(fi+pi/2)·j

se transforma en

j' = -sen(fi)·i + cos(fi)·j

El vector A tiene coordenadas Ax y Ay respecto i, j y coordenadas Ax' y Ay' respecto a i' y j'

A = Ax·i + Ay·j = Ax'·i' + Ay'·j'

Vamos a poner i, j en función de i', j', para ello solucionamos este sistema de ecuaciones

i' = cos(fi)·i + sen(fi)·j

j' = -sen(fi)·i + cos(fi)·j

multiplicamos la primera por sen(fi) y la segunda por cos(fi) y luego las sumamos

sen(fi)·i' = cos(fi)sen(fI)·i + sen^2(fi)·j

cos(fi)·j' = -sen(fi)cos(fi)·i + cos^2(fi)·j

------------------------------------------------

sen(fi)·i' + cos(fi)·j' = sen^2(fi)·j + cos^2(fi) ·j = j

luego

j = sen(fi)·i' + cos(fi)·j'

Para despejar i lo hacemos de forma análoga, multiplicamos la primera por cos(fI) y la segunda por -sen(fi)

cos(fi)·i' = cos^2(fi)·i + sen(fi)cos(fi)·j

-sen(fi)·j' = sen^2(fi)·i - cos(fi)sen(fi)·j

-----------------------------------------------

cos(fi)·i' - sen(fi)·j = cos^2(fi)·i + sen^2(fi)·i = i

luego

i = cos(fi)·i' - sen(fi)·j

Sustituyendo estos valores en A = Ax·i + Ay·j tendremos

A = Ax·i + Ay·j =

Ax·[cos(fi)·i' - sen(fi)·j ] + Ay·[sen(fi)·i' + cos(fi)·j'] =

[Ax·cos(fi) + Ay·sen(fi)]·i' + [-Ax·sen(fi) + Ay·cos(fi)]·j' = Ax'·i' + Ay'·j'

luego

Ax' = Ax·cos(fi) + Ay·sen(fi)

Ay' = -Ax·sen(fi) + Ay·cos(fi)