Teoría de numeros

Dado un número n si tomamos el conjunto de todos los primos menores o iguales que n

Cn = {p1, p2, p3, ..., pm | pi <=n}

Y tomamos el siguiente número

q = p1·p2·p3···pm + 1

Es decir, el producto de todos esos primos sumándole 1.

Si q es un número primo ya tenemos un primo mayor que pm.

Si q es compuesto no puede tener factor primo a ninguno de los primos pi de Cn ya que

Pi dividiría a q y a p1·p2···pi···pm por lo que dividiria a la diferencia de ambos

q-p1·p2···pm = 1

Y ningún número primo dicide a 1.

Luego si q es compuesto sus factores primos son mayores que pm, por lo que habrá algún primo mayor que pm

Luego en cualquier caso hay primos mayores que pm.

Como pm era el mayor primo <=n tenemos primos mayores que n

Y además estos primos son menores que n! Ya que q es menor que n! Porque:

n! Tiene todos los factores entre 2 y n

Q no los tiene todos, le falta por lo menos el 4 que no es número primo. (nótese que en el enunciado dice n>=4)

De esta forma o bien el número q construido como p1·p2···pm+1 o bien un factor primo de q es un número primo mayor que n y menor que n!

Y eso es todo.