Ayuda con vectores

Dados dos vectores u y v podemos calcular el ángulo que forman sabiendo que el producto escalar es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman

<u,v> = |u||v|cos(alfa)

Lo de la izquierda es una de las formas de expresar el producto escalar, la otra es u·v pero la que he puesto es más clara ya que no se confunde el producto escalar con el normal.

Entonces

cos(alfa) = <u,v> / |u||v|

Nos piden el ángulo con los ejes, los ejes tienen vectores sencillos

Eje X (1,0,0)

Eje Y (0,1,0)

Eje Z (0,0,1)

Y el producto escalar de un vector u por el de un eje es simplemente la coordenada primera, segunda o tercera del vector, también el vector de un eje tiene módulo uno.

Con todas estas simplificaciones, si el vector de la recta es

u = (a, b, c)

los cosenos de los ángulos serán

cos(alfa_x) = |a| / sqrt(a^2+b^2+c^2)

cos(alfa_y) = |b| / sqrt(a^2+b^2+c^2)

cos(alfa_z) = |c| / sqrt(a^2+b^2+c^2)

Son los llamados cosenos directores de la recta.

Vamos ya.

Primero calculamos el vector de la recta

u = ( 3, -5 , 1 ) - ( 1 , -3, 2) = (2, -2, -1)

El módulo de u es

|u| = sqrt[2^2 + (-2)^2 + (-1)^2] = sqrt(4+4+1) = sqrt(9) = 3

cos(alfa_x) = |2| / 3 = 2/3

cos(alfa_y) = |-2| / 3 = 2/3

cos(alfa_z) = |-1| / 3 = 1/3

Aunque son sencillos no son ángulos conocidos

alfa_x = 48.1896851º = 0.8410686706 rad

alfa_y = 48.1896851º = 0.8410686706 rad

alfa_z = 70.52877937º = 1.230959417 rad

Los ángulos entre rectas se definen como el menor de los ángulos por eso no caben los ángulos mayores de 90º. Pero si acompañamos los ángulos con el vector (2,-2,-1) obtenemos una información extra que dice que con los semiejes OY+ y OZ+ el ángulo de ese vector director de la recta es mayor de 90º

Y eso es todo.