Momento de inercia integrales múltiples
Calcula el momento de inercia sobre el eje x, de la región plana limitada por la
parábola y^2 =1-x y las rectas x=0 e y=0, la función densidad es p(x,y) de antemano gracias!! :3
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Calcula el momento de inercia sobre el eje x, de la región plana limitada por la
parábola y^2 =1-x y las rectas x=0 e y=0, la función densidad es p(x,y)=x :P
El momento de inercia es la integral del radio al cuadrado por el diferencial de masa
$$I=\int_m r^2dm$$
Si la masa es variable y la figura plana el diferencial de masa será
dm = p(x,y) dy dx = x dy dx
Por otra parte r^2 es la distancia al eje de giro al cuadrado. Como el eje de giro es el eje X la distancia es la coordenada y, luego
r^2 = y^2
Y el dominio de integración es.
A la izquierda x=0
A la derecha el corte de la gráfica con el eje X
y^2 = 1-x
y = sqrt(1-x)
0 = sqrt(1-x)
0 = 1-x
x=1
Por abajo la recta y=0
Por arriba la curva y= sqrt(1-x)
Con todo esto el momento de inercia es
$$\begin{align}&I=\int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x}}y^2x\,dy\,dx=\\ &\\ &\int_0^1 x \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^{\sqrt{1-x}}dx=\\ &\\ &\frac 13\int_0^1 x \sqrt{(1-x)^3}dx=\\ &\\ &u=x\quad\quad\quad\quad\quad du=dx\\ &\\ &dv=(1-x)^{3/2}\quad v=-\frac 25(1-x)^{5/2}\\ &\\ &=-\frac 13 ·\frac 25\left[x(1-x)^{5/2}\right]_0^1+\frac 13·\frac 25\int_0^1(1-x)^{5/2}dx=\\ &\\ &0-\frac 2{15}·\frac 27\left[(1-x)^{7/2}\right]_0^1=\\ &\\ &-\frac{4}{105}(0-1) = \frac 4{105}\end{align}$$
