Ayuda con esta demostración.
sea A pertenece R^n,n ,no necesariamente simétrica, es real positiva si x^T Ax > 0 para todo vector distinto de cero x pertenece R^n.
demuestra que si A es real positiva, entonces la matriz B = A + A^T es simétrica y definida positiva.
1 respuesta
Es un poco pesado de demostrar lo que digo a continuación pero es una mera comprobación, puedes hacerla si quieres.
x^T·A· y = Sumatorio de xi·aij·yj con 1<=i,j<=n
Si hacemos x=y
x^T·A·x = Sumatorio de xi·aij·xj con 1<=i,j<=n
Si A es real positiva
x^T·B·x = x^T(A+A^T)x = Sumatorio de xi(aij+aji)xj =
Sumatorio de xi·aij·xj + Sumatorio de xi·aji·xj =
Pero es que los dos sumatorios tienen los mismos sumandos aunque en distinto orden
En el segundo sumatorio cambiamos e orden de factores
Sumatorio xj·aji·xi
Y ahora intercambiamos el nombre de los índices
Sumatorio xi·aij·xj
Y es el mismo sumatorio que el primero
Luego
x^T·B·x = 2·x^T·A·x
Luego si A era positiva B también lo es, esa operación sera siempre >0 para todo x distinto de 0.
Y una matriz simétrica real mas su transpuesta es siempre simétrica porque
bij = aij+aji
bji = aji+aij
luego
bij=bji
Y eso es todo.
