Ayuda con esta demostración.

sea A pertenece R^n,n ,no necesariamente simétrica, es real positiva si x^T Ax > 0 para todo vector distinto de cero x pertenece R^n.

demuestra que si A es real positiva, entonces la matriz B = A + A^T es simétrica y definida positiva.

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1 Respuesta

5.854.025 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Es un poco pesado de demostrar lo que digo a continuación pero es una mera comprobación, puedes hacerla si quieres.

x^T·A· y = Sumatorio de xi·aij·yj con 1<=i,j<=n

Si hacemos x=y

x^T·A·x = Sumatorio de xi·aij·xj con 1<=i,j<=n

Si A es real positiva

x^T·B·x = x^T(A+A^T)x = Sumatorio de xi(aij+aji)xj =

Sumatorio de xi·aij·xj + Sumatorio de xi·aji·xj =

Pero es que los dos sumatorios tienen los mismos sumandos aunque en distinto orden

En el segundo sumatorio cambiamos e orden de factores

Sumatorio xj·aji·xi

Y ahora intercambiamos el nombre de los índices

Sumatorio xi·aij·xj

Y es el mismo sumatorio que el primero

Luego

x^T·B·x = 2·x^T·A·x

Luego si A era positiva B también lo es, esa operación sera siempre >0 para todo x distinto de 0.

Y una matriz simétrica real mas su transpuesta es siempre simétrica porque

bij = aij+aji

bji = aji+aij

luego

bij=bji

Y eso es todo.

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