Hola genios! Acá va otro: ejercicio e máximos y mínimos de 2 variables

Cada vez que veo un / en una fórmula me pongo a temblar. Un 90% o más de los usuarios no sabe que tiene que encerrar los numeradores y denominadores entre paréntesis, ya que de lo contrario el experto en Matemáticas tiene que transformarse también en experto en videncia para adivinar cual es el numerador y denominador.

Cuando no hay ningún paréntesis se supone que el numerador es solo el termino anterior y el denominador el término posterior. Entonces tu fórmula sería esta

f(x,y) = 2x + 2y + (1/x^2) + y^2 + 1

Confírmame si es esa.

O dime si sería esta

f(x,y) = (2x+2y+1)/(x^2+y^2+1)

 O incluso si es otra distinta.

Ya sabes, con un / hay que poner numerador y denominador entre paréntesis.

Ay pido disculpas!!! jajaja casi que poseen el don de la videncia!!!! aclaro:

(2x+2y+1)/(por^2+y^2+1) , esta es la función, cuando derivo me queda horrible para tratar de sacar los puntos críticos.

otra vez gracias, otra vez disculpas...

Si, ya pensaba yo que era esa porque si no era más fácil.

Hay que hacer las derivadas parciales e igualarlas a cero.

fx(×,y) = [2(×^2+y^2+1)-2x(2x+2y+1)] / (×^2+y^2+1)^2 = 0

2(×^2+y^2+1)-2x(2x+2y+1)=0

2x^2+2y^2+2-4x^2-4xy-2x = 0

-2x^2+2y^2-4xy-2x+2=0

fy(×,y) = [2(×^2+y^2+1) -2y(2x+2y+1)] / (×^2+y^2+1)^2 = 0

2(×^2+y^2+1) - 2y(2x+2y+1) = 0

2×^2+2y^2+2 -4xy-4y^2-2y = 0

2x^2-2y^2-4xy -2y+2=0

Mira que semejantes son las dos ecuaciones. SI cambias de signo al de abajo y la sumas con la de arriba se cancela casi todo y solo te va a quedar

-2x+2y = 0  ==>

×=y

Que era algo de suponer dado que los papeles de las variables eran intercambiables.

Y ahora si sustituimos × por y en la segunda se anulan los dos primeros sumandos y queda

-4yy - 2y + 2 = 0

2y^2 + y - 1 = 0

Ecuación que pasamos a resolver

y = [1+-sqrt(1+8)]/2

y =(1+-3)/2

y1=-1 ==> x1=-1

y2=2 ==>x2=2

Estos son los puntos críticos

(-1, -1)

(2, 2)

Lo que es de todo punto de vista inhumano es decidir si son máximos o mínimos con el criterio de las derivadas segundas. No sé si usáis ese método o hay otro más sencillo, pero ahí si que se puede perder mucho tiempo y equivocarse uno.

Yo voy a usar que la función es derivable, continua (pues el denominador es siempre positivo) y tiene solo dos puntos críticos. Uno será una montaña y otro un pozo, pues si hubiera dos montañas o dos pozos tendría que haber más puntos críticos. Simplemente evalúo de función en ambos puntos y el que me de más es el máximo y el otro el mínimo. Además se puede hacer la gráfica con algún programa de ordenador que lo confirma.

f(-1, -1) = (-2 -2 +1)/(1+1+1)=-1

f(2, 2) = (4+4+1)/(4+4+1) =1

Luego (-1,-1) es el mínimo y (2,2) el máximo

Además se puede hacer la gráfica que lo confirma.

Y eso es todo.