La serie numérica de una función esta
Expresa como una seri la función
f(n)= 1/(n+1)
Indica y fundamenta si las series son convergentes o divergentes.
Y no se si podrás también indicar y fundamentar en las dos anteriores que te mande, se me paso ponerle esto.
Saludos
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Usamos la fórmula de McLaurin. Nos va a liar el hecho de usar n como variable de la función. Dejame que use la variable x como siempre
$$\begin{align}&f(x)=f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+···+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+...\\ &\\ &f(x)= \frac{1}{x+1}\implies f(0) = 1\\ &\\ &\\ &f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}\implies f'(0)=-1\\ &\\ &f''(x) = 2(x+1)^{-3}\implies f''(0)= 2\\ &\\ &f'''(x) = -6(x+1)^{-4}\implies f'''(0) =-6\\ &...\\ &f^{(n)}(x)= (-1)^n(x+1)^{-(n+1)}\implies f^{(n)}(0)=(-1)^nn!\\ &\\ &\text{Los factoriales de la fórmula se cancelan con los que salen aquí}\\ &\\ &\frac{1}{1+x}= 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...\\ &\\ &\\ &\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\\ &\\ &\text{o también, aunque no se suele usar}\\ &\\ &\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n\\ &\\ &\end{align}$$Y esta serie es convergente para todo x salvo x=-1 ya que el límite de la serie es 1/(1+x)
Y eso es todo.
