Hallar los números complejos z tal que z^2=z(conjugado de z)
Hallar los números complejos z tal que z^2=z(conjugado de z)
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
El número z será
a+bi
y debe cumplirse
(a+bi)^2 = a - bi
a^2 + 2abi + b^2·i^2 = a - bi
a^2-b^2 + 2abi = a -bi
Deben ser iguales las partes reales e imaginarias
a^2-b^2 = a
2ab=-b
de la segunda se deduce
2a=-1
a=-1/2
y ahora vamos a la primera
1/4 - b^2 = -1/2
b^2 = 1/4+1/2 = 3/4
b = +- sqrt(3) / 2
Luego son dos respuestas
z1 = -1/2 + sqrt(3)/2
z2 = -1/2 - sqrt(3)/2
En forma polar son los números de módulo 1 y ángulos 120º y 240º
Y eso es todo.
