Demostración de una sucesión

Tomemos un epsilon cualquiera, si quieres le damos un valor

epsilon=1

Por converger uniformemente habrá un N tal que para todo n>N se cumple

|fn(x) - f(x)| < 1 para toda x

cambiamos el orden dentro del valor absoluto

|f(x) - fn(x)| < 1

hay una propiedad que dice |a|-|b| <= |a-b| la demostración es

|a| = |a-b+b| <=|a-b|+|b| luego

|a| -|b| <= |a-b|

y aplicándola tenemos

|f(x)| - |fn(x)| <= |f(x) - fn(x)| < 1

|f(x)| <= 1 + |fn(x)|

y esto sucede para todo x

Luego tomamos una función fm cualquiera con m>N y sea M su cota

|fm(x)| <=M para todo x

|f(x)| <= 1 + M para todo x

Luego f está acotada.

Y eso es todo.