Vaneyanez 1!
Tendremos que hallar la imagen de una base de P3, tomaremos la canónica
F(1) = 1 1
0 1
F(t) = 0 1
0 -1
F(t^2) = 0 0
1 0
F(t^3) = 0 0
-1 0
Las coordenadas de estas imágenes respecto la base canónica de M2x2 son
F(1) = (1,1,0,1)
F(t) = (0,1,0,-1)
F(t^2) = (0,0,1,0)
F(t^3) = (0,0,-1,0)
Y la matriz de la aplicación se forma con estas coordenadas puestas en columnas
(1 0 0 0)
(1 1 0 0)
M = (0 0 1 -1)
(1 -1 0 0)
Las coordenadas de la imagen serán todas las combinaciones lineales de las coordenadas las imágenes de la base de P3
Vemos que las coordenadas de F(t^2) y F(t^3) son linealmente dependientes una de las dos no aporta nada, luego el conjunto imagen es
(a a+b)
(c a-b) para todo a,b,c € R
Si llamamos d=a+b se puede expresar así
(A d )
(C 2a-d) para todo a, c, d € R
que deja más a las claras que se pueden tomar tres parámetros con total libertad y en 4 depende de los anteriores, cono lo cual la dimensión del subespacio imagen es 3.
Y el núcleo es el subespacio cuya imagen es el vector nulo.
Tomaríamos la ecuación matricial
MX=0
Y habría que calcular X
Arriba tienes la matriz M. Si a la cuarta fila le sumas la segunda queda
2 0 0 0
y si a esta le restas 2 veces la primera queda
0 0 0 0
Luego la cuarta ecuación sobra, con las tres primeras se puede calcular el núcleo que será un subespacio de dimensión 1
De la primera se deduce x=0
con eso en la segunda se deduce y=0
y en la tercera se deduce z - w = 0 ==> z=w
Luego los polinomios del núcleo son
KerF = {at^2 + at^3 | para todo a € R}
Bueno he supuesto R el cuerpo, pero si no es ese pon aquí el cuerpo de P3 y arriba donde la imagen el cuerpo de M2x2
Y eso es todo.