Determinar la trayectoria temporaldel precio utilizando el método de separación de variables
el precio de un bien depende de forma continua del tiempo que lleva en el mercado t, su función demanda es D(t)=10-1/2p(t)+p'(t) y que su función de oferta es S(t)=-6+1/2P(t), suponiendo que el mercado esta en equilibrio, se pide:
Determinar la trayectoria temporal del precio utilizando el método de separación de variables
1 respuesta
Si el mercado está en equilibrio en todo momento es porque coinciden el valor de la oferta y la demanda en todo momento. Vamos a igualar por tanto las funciones
D(t) = S(t)
10 - (1/2)p(t) + p'(t) = -6 + (1/2)p(t)
p'(t) - p(t) + 16 = 0
Ya sabemos que p es una función de t, vamos a quitar los añadidos (t) que no hacen mas que molestar y confundir con los paréntesis de las operaciones
dp/dt - p +16 = 0
Es una ecuación diferencial de variables separables
dp/dt = p-16
dp/(p-16) = dt
Y ahora integramos en cada uno de los lados
ln(p-16) = t + C
Lo que pasa es que en este tipo de soluciones es preferible poner la constante como el logaritmo neperiano de una constante. Es perfectamente válido ya que el logaritmo neperiano toma todos los valores entre -oo y + oo. Luego lo hacemos de es modo y queda:
ln(p-16) = t + ln C
elevamos e a cada uno de los miembros
p-16 = e^(t+ln C) = e^t· e^(ln C) = Ce^t
p = 16 + Ce^t
le devolvemos el (t) para que se vea que es una función del tiempo
p(t) = 16 + Ce^t
La constante C está indeterminada, cuando nos dieran un valor para el precio en un instante se podría calcular.
Y eso es todo.
