Serie Alternante, encontrar convergencia

Sumemos los dos términos contiguos a ver si nos sugiere algo:

(2n+2)/(3^2n) - (2n+1)/(3^(2n+1)) = [3(2n+2) - (2n+1)] / 3^(2n+1) =

(6n+6-2n-1) / 3^(2^n+1) = (4n+5) / 3^(2n+1)

La potenciación tiene prioridad de ejecución sobre el producto, por eso he quitado el paréntesis del denominador. Conociendo que primero se efectúan las potencias, luego, multiplicaciones y divisiones y por último sumas y restas se pueden eliminar algunos paréntesis. Lo malo es que la gente no suele conocer esas reglas y no los ponen no por que sobren de verdad sino porque no les ha apetecido. De todas formas, es preferible pecar por exceso de paréntesis que por su ausencia.

Podemos sustituirla por esta otra:

5/3, 9/27, 13/243, 17/2187, ..., (4n+5)/3^(2^n+1)

Yo ahora no recuerdo si había alguna fórmula o método para este tipo de sucesiones. Pero se me ocurre descomponer los numeradores asi

5 + 9 + 13 + 17 + 21 +...=

5 + (5+4) + (5+8) + (5+12) + (5+16) + ...=

5 + (5+4) + [(5+4) + 4] + [(5+4) + 8] + [(5+4) + 12] + ... =

5 + (5+4) + [(5+4) + 4] + {[(5+4)+4] + 4} + {[(5+4)+4] + 8} + ... =

El 5 en todos + Un 4 en todos a partir del segundo + Otro 4 en todos a partir del tercero + Otro 4 en todos a partir del cuarto + ...

El denominador será siempre el mismo.

Y tenemos nuestra serie como suma de infinitas series geométricas de razón 1/9.

Recuerdo que la suma de los infinitos términos de una progresión aritmética es a1/(1-r) donde a1 es el primer término y r la razón.

http://es.wikipedia.org/wiki/Progresi%C3%B3n_geom%C3%A9trica

Pues lo que decía, que la inicial es la suma de estas progresiones geométricas:

Primero esta que empieza en el primer término y cuya suma es:

5/3 + 5/27 + 5/243 + ... = (5/3)/(1-1/9) = (5/3)/(8/9) = 5·9/(3·8) = 15/8

Después múltiples progresiones con numerador 4 comenzando cada una un termino más a la derecha

4/27 + 4/243 + 4/2187 + ... = (4/27) / (1-1/9) = (4/27)/(8/9) = (4·9)/(27·8) = (1/6)

4/243 + 4/2187 + ... = (1/6)(1/9)

4/2187 + 4/19683 +... = (1/6)(1/9)^2

Como puedes ver lo único que cambia en la fórmula de la suma

a1/(1-r)

Es el término a1, cada suma es la anterior multiplicada por la variación que haya sufrido a1.

Resumiendo:

Serie = 15/8 + (1/6) + (1/6)(1/9) + (1/6)(1/9)^2 + (1/6)(1/9)^3 + ...

Tenemos de nuevo otra progresión geométrica a partir del segundo sumando cuya suma es:

(1/6)(1-1/9) = (1/6)/(8/9) = 9/48

Serie = 15/8 + 9/48 = (90+9)/48 = 99/48 = 33/16

Luego la serie converge a 33/16 = 2,0625

Y en efecto, realizada la operación con solo 20 términos en mi calculadora con función sumatorio ya de ese resultado exacto.

Y eso es todo. Como te decía, puede que hayáis estudiado este caso y tengáis la fórmula para no tener que hacer todo lo que yo he hecho, pero si nio es ese el caso, aquí está resuelto a mi manera.