Derivación de funciones de variable compleja

dada

$$f(z)=(-27x+x^3-3xy^2)+i(27y-3x^2y+y^3)$$

hallar los valores

$$z\in C$$

tal que

$$f´(z)$$

exista

1

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Respuesta
1

Las derivadas parciales son estas

Ux = - 27 + 3x^2 - 3y^2

Uy = -6xy

Vx = -6xy

Vy = 27 -3x^2 +3y^2

Todas ellas existen y son continuas, luego será derivable si y solo si cumple las condiciones de C-R

i) Ux = Vy

- 27 + 3x^2 - 3y^2 = 27 - 3x^2 +3y^2

54 - 6x^2 +6y^2 = 0

9 - x^2+y^2 = 0

ii) Vx = -Uy

-6xy = -(-6xy)

-6xy = 6xy

-xy = xy

2xy=0

que se cumple de una de estas dos formas o de las dos

x=0

y=0

Vamos a la primera condición con estos dos casos

1) Si x=0

9 - 0^2 + y^2 = 0

y = {3i, -3i}

pero se supone que y es real, luego no sirve

2) Si y=0

9 - x^2 + 0^2 = 0

x = {-3, 3}

esto si sirven

tendremos estos dos puntos (x,y)

(-3, 0) (3,0)

que son

z=-3

z=3

3) Si x=0 y y=0 no puede ser

9 - 0^2 -0^2 = 0 absurdo.

Luego en resumen, solo es derivable en los puntos

z=-3

z=3

Y eso es todo.

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