Hola

Si, me gustaría que me resolviera unicamente este ejercicio, lo que pasa es que el examen es el jueves, a ver si me lo puedes mandar el miércoles por la tarde - noche, como mucho,, te doy mi e-mail por si tienes scaner y así sera más fácil y rapido, venga muchas gracias.
[email protected]
1.Integral de gauss. Probar que la integral de o a más infinito de
e-ax^2( e elevado a -a por por elevado al cuadrado) = 1/2 (pi/a) con a mayor que cero.
Indicación : probar, utilizando que el teorema del cambio de variable, que la función
F : IR+ POR IR+-------IR definida por
F(x,y) = e-a(x^2 + y ^2 )
( E elevado a todo eso..) ES INTEGRABLE Y CALCULAR SU INTEGRAL.
Gracias
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Respuesta
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Lo cierto es que tengo un poco olvidada la topología, pero a ver si te puede servir ésto.
El teorema del punto fijo de Banach nos dice que:
Sea C un subconjunto cerrado de un espacio de Banach E, y F una función
F:C-->C
Entonces existe un único punto z perteneciente a C, tal que
F(z)=z
En nuestro caso basta con hacer E=R^2
C={(x,y) de R^2, tal que |x|<=1; |y|<=1}, es decir un círculo centrado en el (0,0) y de radio r=1
F:C-->C
(x,y)-->F(x,y)=[(senx*seny)/2,(x^2+y^2)/4]
En tal caso, existirá un único punto z=(x,y) de C tal que
F(z)=z
F(x,y)=(x,y)
[(senx*seny)/2,(x^2+y^2)/4]=(x,y)
ecuación vectorial que nos lleva a dos ecuaciones escalares
(senx*seny)/2=x --> senx*seny=2*x
(x^2+y^2)/4=y --> x^2+y^2=4*y
Es decir la solución de ese sistema en C es única.
Como el punto (0,0) es solución del sistema, y sólo hay una, pues esa es la solución
Es decir, si la función F y C cumplen los requisitos establecidos, aplicando el teorema del punto fijo, la unicidad de la solución es inmediata
Veamos qué es lo que debemos demostrar
1º R^2 es un espacio de Banach
Un espacio de Banach es un espacio vectorial en el que hay definido una norma.
Una norma es una aplicación bilineal de E-->K (K:cuerpo sobre el que se define el espacio, normalmente R)
Esta aplicación debe cumplir una serie de propiedades ( ser mayor o igual a cero, ser solo nula para el vector 0, cumplir la desigualdad triangular( algo así como que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta)...)
Para entendernos, una norma es asociar a cada vector un número real cumpliendo unas propiedades.
La norma habitual, imaginando los vectores como el vector geométrico que une dos puntos, es definir la norma como el módulo del vector, o sea la distancia entre los puntos
Es decir, definimos
|.|:R^2-->R
(x,y)-->|(x,y)|=raiz[x^2+y^2]
Pero no es la única norma que se puede definir, de ahí que hables de norma1 y norma2, que tendrás que ver cómo las definen.
De todas formas si sabes que son normas, ya demuestras que es un espacio de Banach
2º C es un conjunto cerrado
Por construcción lo es
3º F está definida de C-->C
si (x,y)pertenece a C --> |x|<=1; |y|<=1
pero al ser F(x,y)=[(senx*seny)/2,(x^2+y^2)/4]
como senx y seny son siempre menores que 1
|senx*seny/2|<=1
Además, por como mucho vale 1, y también, luego
x^2+y^2 valen siempre menos que 2
(x^2+y^2)/4 será siempre menor que 1
Así pues F está bien definido de C en C
Luego se cumplen todas las condiciones exigidas para aplicar el teorema de Banach, como ya hemos hecho al principio.
Vale, muchas gracias, ya solo queda que si por favor me los puedes mandar scaneados los dos ejercicios, el de gauss y este ultimo.
[email protected]
A ver si los puede mandar mañana por la tarde noche como mucho. Gracias, gracias.
Antes de nada comentarte que tienes una errata en el valor de la integral, pues te falta una raíz
Int[e^-ax^2*dx]=(1/2)*raiz[Pi/a]
Para ello usaremos un dato muy conocido ( no es aún lo que quieres que pongas en el examen, solo es para demostrar la errata), que es la integral de la gurva gaussiana o función de error
Esta función es de la la forma
f(x)=1/raiz[2*Pi]*e^(-1/2 z^2) * dz
La integral de -infinito a +infinito de esta curva llamada también campana de Gauss es la unidad, o sea que la integral de cero a +infinito es 1/2
Así pues
Int[1/raiz[2*Pi]*e^(-1/2 z^2) * dz]=1/2
1/raiz[2*Pi*Int[e^(1/2 z^2) *dz] = 1/2
Int[e^(1/2 z^2) *dz]=(1/2)*raiz[2*Pi]
Si hacemos el cambio
a*x^2=(1/2 z^2)
z^2=2*a*x^2
z=raiz[2*a]*x
diferenciando
dz=raiz[2*a]*dx
Luego
Int[e^-a*x^2 * raiz[2*a] * dx]= (1/2)*raiz[2*Pi]
raiz[2*a]*Int[e^-a*x^2 * dx]= (1/2)*raiz[2*Pi]
Int[e^-a*x^2 * dx]= (1/2)* raiz[(2*Pi)/2*a]
Int[e^-a*x^2 * dx]= (1/2)*raiz[Pi/a]
De todas formas vamos a ver cómo lo desarrollamos y comprobarás que llegamos a este resultado
Para hacer la parte primera, primero hay que hacer la segunda, o sea la integral doble
La función a integrar f(x,y)=e^-a*(x^2+y^2) no presenta ningún problema de continuidad, con lo que es integrable
Antes de integrar en el intervalo pedido, vamos a hacerlo en todo R^2
Int[e^-a*(x^2+y^2) * dx * dy]
con x:-inf-->+inf
y=-inf-->+inf
Esta integral es el volumen de una gaussiana en dos dimensiones.
Podemos dividir esa curva en cuatro partes( cada uno de los cuadrantes), y la integral será sólo el volumen de una de las cuatro partes iguales
Lo primero que hemos de hacer es hacer un cambio de variables y pasar a polares
En polares, el diferencial de superficie ds=dx*dy se transforma en
ds=r*dr*[email protected]
siendo
r=raiz[x^2+y^2]
@=arct(y/x)
Así pues la integral nos quedará
Int[e^-a*r^2 * r * dr * [email protected]]
siendo los límites de integración
r:0-->+inf
@:0-->2*Pi
Como la integral es independiente de @, ya podemos integrarlo: Int[[email protected]][email protected]=(2*Pi-0)=2*Pi
liego la integral queda
Int[e^-a*r^2 * r * dr * 2*Pi]=
2*Pi*Int[e^-a*r^2 * r * dr]
Esta integral sale haciendo el cambio de variable
t=-a*r^2
Diferenciando y despejando dr
dt=-2*a*r*dr
dr=-dt/(2*a*r)
luego la integral queda
2*Pi*Int[e^t * r * (-dt) 1/(2*a*r)]
-2*Pi* 1/(2*a) * Int[e^t]=
-Pi/a * [e^t]
deshaciendo el cambio
I= -Pi/a * [e^(-a*r^2)]
Sustituyendo los límites de r:0-->+inf
[e^(-a*r^2)]=(e^-inf - e^0)=0-1=-1
Luego la integral en todo RxR es
I=Pi/a
Si solo nos referimos al dominio R+ x R+, será la cuarta parte, luego la que buscas es
I=(1/4)*Pi/a
Una vez resuelta esta integral volvemos a la primera, y nuevamente, por comodidad hareos que la x vaya desde
x=-inf-->+inf
y=-inf-->+inf
con esos límites, como ya hemos demostrado
Int[e^-a*(x^2+y^2) * dx * dy]=Pi/a
Usando ahora las propiedades de las exponenciales
e^-a*(x^2+y^2)=e^-a*x^2 * e^-a*y^2
Int[e^-a*x^2 * e^-a*y^2 * dx * dy] =Pi/a
Es una integral doble que podemos poner como
Int[[e^-a*x^2 * dx] * Int[ e^-a*y^2 * dy]= Pi/a
Pero como las variables no están acopladas, la integral en y sale fuera de la de por, y nos quedará
Int[ e^-a*x^2 * dx]*Int[ e^-a*y^2 * dy]=Pi/a
Pero como en el fondo da igual como llamemos a las variables, la integral buscada
I=Int[ e^-a*x^2 * dx]=Int[ e^-a*y^2 * dy]
Luego
I*I=Pi/a
I^2=Pi/a
I=raiz[Pi/a]
pero este sería el caso en que los límites fueran de desde
x=-inf-->+inf ( o la y)
y como van desde 0-->+inf, nos quedamos con la mitad
I=(1/2)*raiz[Pi/a]
Como ya habiamos sacado integrando la campana de Gauss
Espero que te sirva, he enconmtrado algo parecido en
http://latt.if.usp.br/bazar/whole/node20.html
Que, aunque está en portugués se sigue bien.
Espero que te sirva. Si tienes problemas con la notación te lo escaneo y te lo mando a tu correo.
Suerte en el examen.
Mikel
Exacto, me faltaba una raíz en el valor de la integral, gracias, que rapidez. Si puedes y tienes tiempo mejor me lo mandas a mi e-mail, [email protected] venga gracias, muchas gracias.
Tengo otro ejercicio, pero solo se resolver la primera parte del ejercicio, la indicación no la se, si tienes tiempo me la resuelves y también. Me la mandas a mi e-mail, pero solo si tienes tiempo, venga ya no te canso más . el ejercicio es :
EJERCICIO 1 . probar que (o, o) es la única solución en el conjunto C:= {(X, Y) PERTENECIENTE A IR^2 : VALOR ABSOLUTO DE X, VALOR ABSOLUTO DE Y MENOR O IGUAL QUE 1{ DEL SISTEMA :
SEN X SENY =2X
X^2 + Y^2 = 4Y
Esta parte se hacerla, la que no se es:
Indicación: aplicar el teorema del pto. FIJO DE BANACHA AL CAMPO VECTORIAL F : C----->IR^2 DADO POR F( X, Y) = ( SEN X SENY / 2,
X^2 + Y^2 / 4 ), CONSIDERANDO EN IR^2 LA NORMA ||.||1 O LA NORMA ||.||2.
Pues ya esta, muchas gracias y espero tus respuesta mañana o pasado. Gracias.
Ya lo reduje, ahí va
Ok, ahí va, pero aún no domino bien el scanner y el archivo ocupa 2.5 Mb

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