Base para R2

Es una base porque se ve a primera vista. La demostración depende de los teoremas previos que te dejen utilizar.
Por ejemplo, si puedes utilizar que todas las bases tienen el mismo número de elementos y que R^2 tiene dimensión 2 te bastaría con demostrar que los dos vectores son un sistema libre o que son un sistema generador.
Que es libre es inmediato porque es imposible poner el primero como combinación del segundo
(2,1) = k(3,0) = (3k, 0)
Y es imposible porque 1 es distinto de 0.

Si no te dejan utilizar nada tendrías que demostrar que es un sistema libre y generador. Lo de sistema libre ya se demostró. Y lo de generador se demostraría asi:
Sea un valor (a, b) € R^2, hay que ver que se puede poner como combinación lineal de esos vectores
x(2,1) + y(3,0) = (a, b)
2x + 3y = a
x = b
luego
2b + 3y = a
3y = a-2b
y = (a-2b)/3
Luego dado un vector cualquiera (a, b) se genera como combinación lineal de los vectores que nos dan
x(2,1) + y(3,0) = (a, b)
tomando
x=b
y=(a-2b)/3
Luego es un sistema libre y generador, y por lo tanto es una base.

Y eso es todo.