¿Determinar si un vector pertenece a un subespacio?
Determine si el vector (6x^2) -5x+3 pertenece al subespacio generado por:
(x^2) +5x-2, (4x^2) -x+4, (5x^2) +4x+2, (6x^2)+9x, 19x-4
En caso de pertenecer determinar los valores de las alfas.
Según yo primero tengo que ponerlo en forma matricial y hacerle gauss a todos los vectores generadores (porque son mas de 3 y el espacio vectorial es de dimensión 3 entonces seguro que alguna de ellas es dependiente de otra) pero una vez que encuentro esos 3 vectores ya no se que hacer.
1 Respuesta
Si, el espacio es de dimensión 3, luego al menos sobrarán 2 ecuaciones
Se ve perfectamente que el vector 3º es el 1º + el 2º
x^2+5x-2 + 4x^2-x+4 = 5x^2 + 4x +2
Y el cuarto es 2 veces el primero + el segundo
2x^2+10x-4 + 4x^2-x+4 = 6x^2+9x
Luego los vectores 3º y 4º no aportan nada, los podemos quitar y quedan
x^2+5x-2
4x^2 -x + 4
19x-4
El vector que nos dicen pertenecerá al subespacio si se puede expresar como combinación lineal de ellos
a(x^2+5x-2) + b(4x^2-x+4) + c(19x-4) = 6x^2 -5x + 3
Y esto nos proporciona tres ecuaciones
a+4b = 6
5a-b +19c = -5
-2a+4b-4c = 3
Es un sistema de tres ecuaciones, basta con ver que tiene solución no haría falta si quiera calcularla. Si tiene rango 3 (o equivalentemente determinante no nulo) tendrá solución única. Si no tiene rango 3 deberíamos ver si es compatible o no.
| 1 4 0| | 5 -1 19| = 4 - 8·19 + 80 -76 = -144 |-2 4 -4|
Luego hay solución.
En realidad hemos demostrado más, hemos demostrado que los vectores 1º, 2º y 5º son una base y por tanto generan todo el espacio.
Y eso es todo.
