Como evaluar una integral de linea

No nos dicen la curva a lo largo de la cual hay que integrar, se supone que es la línea recta que une los dos puntos.

Lo primero es hallar una parametrización de la curva, recta en este caso, de modo que la curva queda expresada mediante tres funciones

x= f(t)

y=g(t)

z=h(t)

El segmento entre (1,1,1) y (1,2,3) pertenece a la recta cuyo vector director es

v = (1,2,3)-(1,1,1) = (0,1,2)

Por tanto la recta en ecuación vectorial es

Po+tv = (1,1,1) + t(0,1,2)

en paramétricas

x=1

y=1+t

z=1+2t

Y por la construcción que hemos hecho, los límites de t para recorrer ese segmento son

t € [0,1]

puesto que para t=0 tenemos el punto (1,1,1) y para t=1 el punto es (1,2,3)

Entonces ahora debes aplicar esta fórmula

$$\begin{align}&\int_P^QX(x,y,z)dx+Y(x,y,z)dy+Z(x,y,z)dz=\\ &\\ &\int_a^b[X(f(t),g(t),h(t))f´(t)+Y(f(t),g(t),h(t))g´(t)+Z(f(t),g(t),h(t))h´(t)]dt\end{align}$$

Y ahora simplemente debemos sustituir los datos del problema

a=0

b=1

f(t)=1 ==> f'(t) = 0 esto es bueno, el primero de los tres términos de la integral es nulo

g(t)=1+t ==> g'(t) = 1

h(t) = 1+2t ==> h'(t) = 2

$$\begin{align}&\int_0^1 \left(\frac{1}{1+t}·1+2(1+2t)ln(1+t)·2\right)dt=\\ &\\ &\int_0^1\left(\frac{1}{1+t}+4(1+2t)ln(1+t) \right)dt=\\ &\\ &\left[ln(1+t) \right]_0^1+ 4\int_0^1(1+2t)ln(1+t)dt=\\ &\\ &ln2-ln1+ 4\int_0^1(1+2t)ln(1+t)dt =\\ &\\ &ln2+4\int_0^1(1+2t)ln(1+t)dt=\\ &\\ &u=ln(1+t)\quad du = \frac{dt}{1+t}\\ &dv=1+2t\quad\;\;\; v=t+t^2\\ &\\ &=ln2+4\left[(t+t^2)ln(1+t)  \right]_0^1-\\ &\\ &4\int_0^1 \frac{t+t^2}{1+t}dt=\\ &\\ &ln2+4(2ln2-0)-4 \int_0^1 tdt=\\ &\\ &9ln2 -4\left[\frac {t^2}{2}\right]_0^1 = 9ln2-2\end{align}$$

Pues el resultado es ese, se habrá equivocado el que ha escrito la respuesta. Repasa si acaso lo que he hecho pero he comprobado la integral con el ordenador y la hice bien y todo lo anterior también esta bien.

Y eso es todo. Si quieres mandame en otra pregunta nueva la otra integral.