Integrales problema de física
Hola experto por favor ayudame con este ejercicio.
Un automóvil se desplaza en línea recta de modo que su velocidad está definida por v=3t^2+2t, donde v está en m/s y t en s. ¿Cuál es la posición y la aceleración cuando t=3s? Se conoce que en el instante inicial la posición de cero (cuando t=0, x=0).
Gracias
1 respuesta
La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo y la aceleración la derivada de la velocidad respecto del tiempo.
Como lo que nos dan es la velocidad debemos hacer dos cosas, integrarla para calcular la posición y derivarla para conocer la aceleración.
Vamos primero con la integración, llamemos x(t) a la función posición
$$\begin{align}&x(t) =\int v(t)dt=\int(3t^2+2t)dt =\\ &\\ &\text{son integrales inmediatas y muy fáciles}\\ &\\ &= t^3 +t^2 +C\end{align}$$Ahora calculamos la constante C para que en instante t=0 la posición sea 0
x(0) = 0^3 + 0^2 + C = 0
C=0
Luego la función posición es
x(t) = t^3 + t^2
Y ya podemos calcular la posición a los 3 segundos
x(3) = 3^3 + 3^2 = 27 + 9 = 36 m
Y ahora vamos a calcular la aceleración derivando la velocidad respecto del tiempo
a(t) = v'(t) = (3t^2 + 2t)' = 6t + 2
Y la aceleración a los 3 segundos será
a(3) = 6·3+2 = 20 m/s^2
Y eso es todo.
