Ejercicios álgebra moderna 2
1. De las siguientes afirmaciones diga si son falsas o verdaderas pero cada afirmación con su justificación respectiva
f) Todo elemento de un grupo genera un subgrupo cíclico del grupo.
g) El grupo simétrico S10 tiene 10 elementos.
h) El grupo simétrico S3 es cíclico.
i) Sn no es cíclico para cualquier n.
j) Todo grupo es isomorfo a algún grupo de permutacion.
El libro del cual se guía el profe es john b. Fraleigh.
Y se encuentra en el siguiente link
http://ebookbrowse.com/fraleigh-j-algebra-abstracta-3aed-pdf-d92418672
Pagina 46
1 Respuesta
1)
f) Verdadero. El teorema 3.2 de la página 33 demuestra que dado a € G
H={a^n | n€Z} es un subgrupo de G
Más tarde, en la página 34, define que ese grupo H se llama subgrupo cíclico de G generado por a y se denota por <a>.
Es más una cuestión más de forma que de contenido que lo haya definido después de dar el ejemplo, no hay que discutir por el huevo o la gallina.
g) Falso. El grupo S10 tiene 10! = 3628800 elementos
h) Falso. Los elementos de S3 son:
S3 = {e, (1,2), (1,3), (2,3), (1,2,3), (1,3,2)}
E solo genera e
Un 2-ciclo solo genera a si mismo y a la identidad
Un 3 ciclo genera a si mismo, el inverso y la identidad
Ningún elemento genera todo el grupo.
También puede demostrarse de otra forma:
Se que hay un ejercicio que dice
cíclico ==> abeliano
porque me lo han mandado otros usuarios
Luego no abeliano ==> no cíclico
Y S3 no es abeliano
(1,2)(1,2,3) = (1,3)
(1,2,3)(1,2) = (1)(2,3) = (2,3)
Luego S3 no es cíclico.
i) Verdadero
Para n=1 y n=2 es cíclico porque no le queda otro remedio para cumplir las obligaciones de ser grupo.
Para n >= 3 no es cíclico. Sirve la demostración de
no abeliano ==> no cíclico
Usada en el apartado anterior.
j) Verdadero. Es lo que afirma al comenzar el capítulo 4 en la página 37.
Y eso es todo.
