Sobre promedios
Si la media geométrica de dos números positivos es igual a tres veces la media armónica de los mismos, halle la suma de los cuadrados de las razones que se obtienen con los dos números positivos
a)1294
b)1024
c)1154
d)576
e)784
a)1294
b)1024
c)1154
d)576
e)784
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
La parte final es un trabalenguas que yo diría sin sentido, pero veamos que puede hacerse. Intentaremos encontrar esos dos números y después veremos a ver si podemos aclarar que nos piden
Por las definiciones de media geométrica y armónica tenemos
sqrt(ab) = 3 [2/(1/a + 1/b)]
sqrt(ab) = 6 /[(a+b) / ab]
sqrt(ab) = 6ab/(a+b)
Elevamos al cuadrado
ab = 36a^2·b^2 / (a^2 + b^2 + 2ab)
1 = 36ab /(a^2 + b^2 + 2ab)
a^2 + b^2 + 2ab = 36ab
a^2 + b^2 - 34ab = 0
Pongamos b en función de a
b = [34 +- sqrt((34a)^2 - 4a^2)] / 2
b = 17 +- a·sqrt(1152)/2 = 17 +- 12a·sqrt(2)
Luego dado un número a positivo podemos tomar el número
b = 17+ 12a·sqrt(2)
e incluso
b = 17 - 12a·sqrt(2) si es positivo
Y se cumple que la media geométrica de a y b es 3 veces su media armónica.
Bueno, no hacía falta haber hecho todas estas cuentas, pero es que no entendía el enunciado. Ahora sí, tras haber probado con números concretos y en efecto se cumple una de las respuestas y voy a demostrarla.
Lo que dice el enunciado es que si a y b son números cumpliendo lo que dice enunciado, entonces
(a/b)^2 + (b/a)^2 = x
Donde por es una constante a elegir entre 5.
Tomemos esta ecuación a la que habíamos llegado arriba
a^2 + b^2 - 34ab = 0
La transformamos
a^2 + b^2 = 34ab
(a^2 + b^2) / ab = 34
a/b + b/a = 34
Elevamos al cuadrado
(a/b)^2 + (b/a)^2 + 2 ab / (ba) = 34^2
(a/b)^2 + (b/a)^2 + 2 = 1156
(a/b)^2 + (b/a)^2 = 1156 - 2 = 1154
(a/b)^2 + (b/a)^2 = 1154
Y ya esta demostrado, la respuesta es la c, 1154.
Por las definiciones de media geométrica y armónica tenemos
sqrt(ab) = 3 [2/(1/a + 1/b)]
sqrt(ab) = 6 /[(a+b) / ab]
sqrt(ab) = 6ab/(a+b)
Elevamos al cuadrado
ab = 36a^2·b^2 / (a^2 + b^2 + 2ab)
1 = 36ab /(a^2 + b^2 + 2ab)
a^2 + b^2 + 2ab = 36ab
a^2 + b^2 - 34ab = 0
Pongamos b en función de a
b = [34 +- sqrt((34a)^2 - 4a^2)] / 2
b = 17 +- a·sqrt(1152)/2 = 17 +- 12a·sqrt(2)
Luego dado un número a positivo podemos tomar el número
b = 17+ 12a·sqrt(2)
e incluso
b = 17 - 12a·sqrt(2) si es positivo
Y se cumple que la media geométrica de a y b es 3 veces su media armónica.
Bueno, no hacía falta haber hecho todas estas cuentas, pero es que no entendía el enunciado. Ahora sí, tras haber probado con números concretos y en efecto se cumple una de las respuestas y voy a demostrarla.
Lo que dice el enunciado es que si a y b son números cumpliendo lo que dice enunciado, entonces
(a/b)^2 + (b/a)^2 = x
Donde por es una constante a elegir entre 5.
Tomemos esta ecuación a la que habíamos llegado arriba
a^2 + b^2 - 34ab = 0
La transformamos
a^2 + b^2 = 34ab
(a^2 + b^2) / ab = 34
a/b + b/a = 34
Elevamos al cuadrado
(a/b)^2 + (b/a)^2 + 2 ab / (ba) = 34^2
(a/b)^2 + (b/a)^2 + 2 = 1156
(a/b)^2 + (b/a)^2 = 1156 - 2 = 1154
(a/b)^2 + (b/a)^2 = 1154
Y ya esta demostrado, la respuesta es la c, 1154.
