Distribuciones de probabilidad multivariantes. 5,6 teoremas especiales

5.76)

a) La esperanza de Y1 es la integral de y1 por la función de densidad

$$\begin{align}&E(Y_1)=\int_0^1 \int_0^1 4y_1^2y_2dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^1[2y_1^2y_2^2]_0^1dy_1 = \int_0^12y_1^2dy_1 = \left[\frac 23 y_1^3 \right]_0^1=\frac 23\end{align}$$

b) V(Y1) = E[(Y1)²] -[E(Y_1)]² = E[(Y1)²] - (2/3)²

Calculemos E[(Y1)²] no se puede hacer de otra forma que con la integral

$$\begin{align}&E(Y_1)=\int_0^1 \int_0^1 4y_1^3y_2dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^1[2y_1^3y_2^2]_0^1dy_1 = \int_0^12y_1^3dy_1 = \left[\frac 24 y_1^4 \right]_0^1=\frac 12\end{align}$$

V(Y1) = 1/2 - 4/9 = (9-8)/18 = 1/18

c) Ya hemos visto varios de estos. Las variables Y1 e Y2 hacen el mismo papel y tienen la misma esperanza, luego

E(Y1-Y2) = E(Y1)-E(Y2) = 0

Y eso es todo.