Geometría

En cualquier triángulo existen tres puntos interesantes
O-->Ortocentro: donde se cortan las alturas
G-->Baricentro: donde se cortan las medianas
H-->Circuncentro: donde se cortan las mediatrices ( y el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo)
Una relación importante de esos puntos es que los trea están sobre una recta llamada recta de Euler, y además se cumple que
OG=2GH
OH=3GH
Puedes ver una demostración en la página
http://www.ual.es/~jlrodri/Cinderella/Configuraciones/Ortocentro,baricentro,circuncentro.html
En esa página hay un link recta de Euler que te llevará a esta otra página
http://www.ual.es/~jlrodri/Cinderella/Configuraciones/Recta%20de%20Euler.html
Donde hay un excelente applet de Java que nos guiará en el problema( tarda un poco)
Juega un poco con el applet y observa que al cambiar los vértices van cambiando los puntos.
Cambia un poco el triángulo
Original y consigue un triángulo rectángulo con angulo recto en A
Es fácil comprobar que en un triángulo rectángulo se cumplen dos propiedades
1º El ortocentro O coincide con el vértice en el que está el ángulo recto
2º El circuncentro H está en la hipotenusa ( se puede comprobar con vectores
La distancia desde el ortocentro al baricentro es
OG=25/3
y como
OG=2GH
GH=OG/2=25/6
Pero
OH=3OG=3*25/6=25/2
LLamaremos ahora a, b, c a los lados opuestos a los vértices A, B, C (en el dibujo hay otras a, b, c que no nos interesan)
Si nos fijamos ahora en el triángulo rectángulo ortocentro(O=A)-circuncentro(H)-F ( punto medio del lado b), tenemos por pitágoras
OH^2=(b/2)^2+(c/2)^2
(25/2)^2=(b/2)^2+(c/2)^2
625/4=b^2/4+c^2/4
b^2+c^2=625
Y aplicando Pitágoras al triángulo grande
a^2=b^2+c^2
a^2=625
a=25
Luego la hipotenusa mide 25m