U1, U2 y U3 son linealmente independientes

Sean u1,u2,u3 linealmente independientes. Eso significa que toda combinación lineal
au1+ bu2 +cu3 = 0 con a, b, c E al cuerpo implica a=b=c=0
Supongamos ahora una combinación lineal igualada a cero de lo vectores suma
a(u1+u2) + b(u2+u3) + c(u1+u3) = 0
(a+c)(u1) + (a+b)u2 + (b+c)u3 = 0
Como u1,u2,u3 son linealmente independientes significa:
a+c = 0
a+b = 0
b+c = 0
Resolvamos este sistema
A la segunda le restamos la primera
b - c = 0
Sumamos esta y la última
2b = 0 ==> b = 0
y por la segunda a+0 = 0 ==> a = 0
y por la primera 0+c = 0 ==> c= 0
Luego a=b=c=0 y por lo tanto U1+U2, U2+U3 y U1+U3 son también linealmente independientes. Tenías una errata en el enunciado en esto
Y eso es todo.