Anónimo
Dudas con matemáticas parte 2
Hola Valeroasm!
Ya estas en 150... Estás cerca de 2 puestos.
Por cierto disculpa te mande como agradecimiento 2 preguntas que son sencillas de solucionar pero más bien al contrario.
1)Gracias por la explicarme acerca de la inducción matemática, pero en este caso como creo comprender se utiliza la I.M al inicio y no en la conclusión ¿verdad?, por cierto hay algunos puntos en los cuales me he confundido en transcribir te mando de nuevo el texto con las correcciones que aquí están subrayadas y las partes que tengo dudas en negrita.
Cada par de enteros a y b admite un divisor común de de la forma de = ax + by
donde por e y son enteros. Además, cada divisor común de a y b divide a d.
Demostración. Supongamos primeramente que (a es mayor o igual a cero) Y( bmayor o igual a cero) y procedamos por
inducción sobre n = a + b. Si n = O, entonces a= b = O Y podemos tomar
d = O con x = y = O. Supongamos entonces que el teorema ha sido probado
para O, 1, 2, ... , n - 1. Por simetría podemos suponer (a mayor o igual a b). Si b =0, entonces
d = a, x = 1, y = O. Si( b > 1 ó b=1) podemos aplIcar la hIpóteSIS de inducción
a (a - b) y (b), ya que su suma es a = n - b < n-1. Por lo tanto existe
un divisor común d de a - b y b de la forma d = (a - b)x + by. Este entero d
divide también a (a - b) + b = a, luego d es un divisor común de a y de b
y tenemos que d = ax + (y-x)b, es combinación lineal de a y b. Para completar
La demostración debemos probar que cada divisor común divide a d.
Como un divisor común divide a a y b, dividirá también a la combinación
lineal ax + (y - x)b = d. Esto completa la demostración si a > 0 Y b > O. Si
uno de ellos o ambos fuesen negativos, aplicaríamos el resultado que acabamos
de demostrar a lal y |bl.
Siendo más minucioso en el momento de ver si la demostración es correcta, observe que a y b no pueden ser cero ambos a la vez ya que no cumplirían ya que en este caso d=0 y no cumple ya que cero no es divisor de ningún numero, también tengo una incertidumbre en el enunciado del problema, veo una ambigüedad eso creo, entiendo 2 casos:
a)A partir de (Cada par de enteros a y b admite un divisor común d, además cada divisor común de a y b divide a d) entonces (d) tiene esta forma: d = ax + by donde x e y son enteros.
b)Cada par de enteros a y b admite un divisor común d de la forma d = ax + by
donde x e y son enteros entonces en consecuencia cada divisor común de a y b divide a d.
Para mi es la primera opción, pero en el problema dice que es lo segundo en la parte negrita.
2)Dado z(x)=x^n, se define z(x)´=nx^(n-1), para todo n E Z positivos incluido el cero y sea
J(x)=sumatoria desde n=0 hasta infinito de[((-1)^n)(x^2n)/((4^n)((nfactorial)^2)]
Calcular x(J´´(x))+ x(J´(x))+ x(J(x))
Efectivamente J' y J'' quiero decir derivada primera y derivada segunda.
La respuesta es cero.
Un saludo.
Ya estas en 150... Estás cerca de 2 puestos.
Por cierto disculpa te mande como agradecimiento 2 preguntas que son sencillas de solucionar pero más bien al contrario.
1)Gracias por la explicarme acerca de la inducción matemática, pero en este caso como creo comprender se utiliza la I.M al inicio y no en la conclusión ¿verdad?, por cierto hay algunos puntos en los cuales me he confundido en transcribir te mando de nuevo el texto con las correcciones que aquí están subrayadas y las partes que tengo dudas en negrita.
Cada par de enteros a y b admite un divisor común de de la forma de = ax + by
donde por e y son enteros. Además, cada divisor común de a y b divide a d.
Demostración. Supongamos primeramente que (a es mayor o igual a cero) Y( bmayor o igual a cero) y procedamos por
inducción sobre n = a + b. Si n = O, entonces a= b = O Y podemos tomar
d = O con x = y = O. Supongamos entonces que el teorema ha sido probado
para O, 1, 2, ... , n - 1. Por simetría podemos suponer (a mayor o igual a b). Si b =0, entonces
d = a, x = 1, y = O. Si( b > 1 ó b=1) podemos aplIcar la hIpóteSIS de inducción
a (a - b) y (b), ya que su suma es a = n - b < n-1. Por lo tanto existe
un divisor común d de a - b y b de la forma d = (a - b)x + by. Este entero d
divide también a (a - b) + b = a, luego d es un divisor común de a y de b
y tenemos que d = ax + (y-x)b, es combinación lineal de a y b. Para completar
La demostración debemos probar que cada divisor común divide a d.
Como un divisor común divide a a y b, dividirá también a la combinación
lineal ax + (y - x)b = d. Esto completa la demostración si a > 0 Y b > O. Si
uno de ellos o ambos fuesen negativos, aplicaríamos el resultado que acabamos
de demostrar a lal y |bl.
Siendo más minucioso en el momento de ver si la demostración es correcta, observe que a y b no pueden ser cero ambos a la vez ya que no cumplirían ya que en este caso d=0 y no cumple ya que cero no es divisor de ningún numero, también tengo una incertidumbre en el enunciado del problema, veo una ambigüedad eso creo, entiendo 2 casos:
a)A partir de (Cada par de enteros a y b admite un divisor común d, además cada divisor común de a y b divide a d) entonces (d) tiene esta forma: d = ax + by donde x e y son enteros.
b)Cada par de enteros a y b admite un divisor común d de la forma d = ax + by
donde x e y son enteros entonces en consecuencia cada divisor común de a y b divide a d.
Para mi es la primera opción, pero en el problema dice que es lo segundo en la parte negrita.
2)Dado z(x)=x^n, se define z(x)´=nx^(n-1), para todo n E Z positivos incluido el cero y sea
J(x)=sumatoria desde n=0 hasta infinito de[((-1)^n)(x^2n)/((4^n)((nfactorial)^2)]
Calcular x(J´´(x))+ x(J´(x))+ x(J(x))
Efectivamente J' y J'' quiero decir derivada primera y derivada segunda.
La respuesta es cero.
Un saludo.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Si el enunciado es este:
"Cada par de enteros a y b admite un divisor común de de la forma de = ax + by
donde por e y son enteros. Además, cada divisor común de a y b divide a d."
La parte segunda parte es una fácil consecuencia de la primera porque si c es divisor común de a y b entonces
d/c = (a/c)x + (b/c)y
Como (a/c) y (b/c) son enteros ==> d/c entero
La simplificación de a) sería, hay un mcd y tiene la forma d=ax+by
La simplificación de b) sería, hay un divisor d=ax+by y es el mcd
a) el mcd tiene la forma d=ax+by
b) si un divisor es de la forma d=ax+by entonces es el mcd
¿Que fue antes el huevo o la gallina? Ambas cosas son ciertas y pueden demostrarse.
------------------------
2)
J = {(-1)^n / [(4^n)(n!^2)]} · x^2n
J' = 2n{(-1)^n / [(4^n)(n!^2)]} x^(2n-1)
J'' = 2n(2n-1){(-1)^n / [(4^n)(n!^2)]} x^(2n-2)
NO SALE.
Yo daría por válido quizá x·J(x) + J'(x) + x·J''(x) = 0 no lo que has puesto
Mírame a ver si es eso.
"Cada par de enteros a y b admite un divisor común de de la forma de = ax + by
donde por e y son enteros. Además, cada divisor común de a y b divide a d."
La parte segunda parte es una fácil consecuencia de la primera porque si c es divisor común de a y b entonces
d/c = (a/c)x + (b/c)y
Como (a/c) y (b/c) son enteros ==> d/c entero
La simplificación de a) sería, hay un mcd y tiene la forma d=ax+by
La simplificación de b) sería, hay un divisor d=ax+by y es el mcd
a) el mcd tiene la forma d=ax+by
b) si un divisor es de la forma d=ax+by entonces es el mcd
¿Que fue antes el huevo o la gallina? Ambas cosas son ciertas y pueden demostrarse.
------------------------
2)
J = {(-1)^n / [(4^n)(n!^2)]} · x^2n
J' = 2n{(-1)^n / [(4^n)(n!^2)]} x^(2n-1)
J'' = 2n(2n-1){(-1)^n / [(4^n)(n!^2)]} x^(2n-2)
NO SALE.
Yo daría por válido quizá x·J(x) + J'(x) + x·J''(x) = 0 no lo que has puesto
Mírame a ver si es eso.
Si tienes razón:
Calcular Calcular x(J´´(x))+ (J´(x))+ x(J(x))
Si no te acuerdas de los enunciados mira en la parte superior, efectivamente me arroja como respuesta cero, pero a mi me sale reemplazando nada más, agrupo y voy sumando algunos factores sale cero, el siguiente grupo cero y así sucesivamente. Deduzco que la respuesta es cero. Sería algo así como asumiendo;si en caso esta inducción se puede verificar aplicando I.Matemáticas entonces a)Verifica la Inducción.
b)Encuentra una manera de demostrar que la respuesta es cero sin aplicar I.M, no se aplicando propiedades de derivadas.Ya que la I.M sólo sirve para verificar más aún no para resolver un problema.
Un saludo.
Calcular Calcular x(J´´(x))+ (J´(x))+ x(J(x))
Si no te acuerdas de los enunciados mira en la parte superior, efectivamente me arroja como respuesta cero, pero a mi me sale reemplazando nada más, agrupo y voy sumando algunos factores sale cero, el siguiente grupo cero y así sucesivamente. Deduzco que la respuesta es cero. Sería algo así como asumiendo;si en caso esta inducción se puede verificar aplicando I.Matemáticas entonces a)Verifica la Inducción.
b)Encuentra una manera de demostrar que la respuesta es cero sin aplicar I.M, no se aplicando propiedades de derivadas.Ya que la I.M sólo sirve para verificar más aún no para resolver un problema.
Un saludo.
Me olvidaba.
En 1)
Hemos demostrado para el caso en la cual a y b son positivos, ahora quisiera que desarrolles el problema en caso de que ambos fuesen negativos o ambos de distintos signos.Al final de la demostración hay una sugerencia, pero podrías enviarme el desarrollo por favor en esos casos.
Un saludo.
En 1)
Hemos demostrado para el caso en la cual a y b son positivos, ahora quisiera que desarrolles el problema en caso de que ambos fuesen negativos o ambos de distintos signos.Al final de la demostración hay una sugerencia, pero podrías enviarme el desarrollo por favor en esos casos.
Un saludo.
No tengo muchas preguntas pero son complicadas. Estoy con unas de Teoría de Números que es una asignatura que yo no estudié y me han dado un libro en inglés para resolver los problemas. Y yo de inglés nada, no entiendo casi nada.
Precisamente tu pregunta 1 es de Teoría de Números. Ya lo habíamos demostrado para a y b positivos.
Como decía la sugerencia se calculan x e y para números positivos |a| y |b|.
Si a y b negativos tomamos -x y -y y de ahí sale el d = a(-x) +b(-y)
Si a>0 y b<=0 tomamos x y -y con lo que d = ax + b(-y)
Si a<0 y b>0 tomamos -x e y con lo que d =a(-x) + by
-------------------
2)
La demostración por sustitución no es una inducción sino una deducción. El coeficiente de x^(2n) de xJ''(x)+ J'(x)+ xJ(x) será:
{(-1)^n / [(4^n)(n!^2)]} + 2(n+1){(-1)^(n+1) / [(4^(n+1))((n+1)!^2)]} +
2(n+1)(2n+1){(-1)^(n+1) / [(4^(n+1))((n+1)!^2)]} =
Los (-1)^... nos dan el signo, el primero positivo y los otros dos negativo o viceversa. A la hora de averiguar si ese coeficiente es cero nos da lo mismo que los signos estén cambiados. Gracia a eso simplificamos algo.
1/ [(4^n)(n!^2)]} - 2n / [(4^(n+1))((n+1)!^2)]} - 2n(2n-1)/ [(4^(n+1))((n+1)!^2)]} =
[4(n+1)^2 - 2n - 2n(2n-1)] / [(4^(n+1))((n+1)!^2)]
Y el numerador es:
4n^2 + 8n + 4 - 2n - 2 - 4n^2 - 6n - 2 = 0
Luego cualquier coeficiente del polinomio de xJ''(x)+ J'(x)+ xJ(x) es cero y el polinomio es cero.
Esto era lo que no querías que demostrara, pero yo no me quedaba tranquilo sin hacerlo.
Y lo que quieres es demostrarlo sin hacer las sustituciones.
¡Bueno, pues si!
Si J cumple
xJ''(x)+ J'(x)+ xJ(x) = 0
es porque J es una solución de la ecuación diferencial
xy'' + y' + xy = 0
y'' + y'/x + y = 0
Es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo grado con coeficientes variables, que nunca he hecho ninguna ni la haré.
Aunque parezca mentira, esa expresión que parece tan sencilla, en una ecuación diferencial es un escollo de aquí te espero.
Menos mal que hay un programa llamado Máxima que me dice que la solución general es:
y = k1 · bessel_y(0, x) + k2 · bessel_j(0, x)
La función bessel_j(v, z) =
= Sumatorio desde k=0 a infinito de [(-1)^k · 2^(-v-2k) · z^(v+2k)] / [k!·gamma(v+k+1)]
La función bessel_y(v,z) = [cos(PI·v) · bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z)] / sen(PI · v)
La función gamma(z) = Integral definida entre 0 e infinito de t^(z-1)·e^(-t) dt.
Pues lo que te decía, que las soluciones no son nada sencillas precisamente.
Para empezar, la bessel_y no nos aparece porque no hay senos ni cosenos en J, luego k1=0 y quedaría:
y = k2·bessel_j(0,x)
Creo que J tampoco tiene una constante k2, si me qequivoco ya la volveremos a poner. Escribamos como quedaría la Bessel_j(0, x)
y = Sumatorio k=0 a infinito de [(-1)^k · 2^(-2k) · x^(2k)] / [k! gamma(k+1)]
El el afán de asemejar esto a J vamos a poner 2^(-2k) como 1/[2^(2k)] = 1 / (4^k)
y queda
y = Sumatorio k=0 a infinito de [(-1)^k · x^(2k)] / [(4^k)· k! · gamma(k+1)]
Y ya solo nos falta ir a la wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Función_gamma
donde nos dice que para números enteros se cumple gamma (n+1) = n!
Con esto queda
y = Sumatorio k=0 a infinito de [(-1)^k · x^(2k)] / [(4^k)· (k!)^2]
Que es exactamente la función que habíamos llamado J.
Pues eso, quien hizo este problema lo que hizo fue (sabiendo o resolviendo) la ecuación diferencial xy'' + y' + xy = 0, tomo la solución J más simple que se podía tomar por cierto, y la exhibió por los circos como un hecho mágico sobrenatural. Eso es todo.
Por supuesto que al nacer J de esa manera no es necesario demostrar que cumple
xJ'' + J' + xJ = 0 ya que para eso fue diseñada.
Pero nunca está de más hacerlo para asegurarse que se ha resulelto bien la ecuación diferencial.
-----------------------
Cuando dije cinco puntos quería decir cinco estrellas. Los puntos que te adjudican son estos:
5 estrellas = 400 puntos
4 estrellas = 300 puntos
3 estrellas = 180 puntos
2 estrellas = 60 puntos
1 estrella = 20 puntos
0 estrellas = 0
Luego te restan si pasas de 12, 24, 36, etc horas en contestar. A mi me ha pasado varias veces que me den 375 en vez de 400 por eso y aun podrían haber sido menos si hubiera tardado más en contestar.
Mis puntos actuales son: 153392
Mis puntos totales son: 200126
Respuestas en matemáticas (que son casi todas) = 533
Rating: 4,73
Y eso es todo. Muy complicado el problema segundo incluso para mí a estas alturas, pero espero te sirva de algo
Precisamente tu pregunta 1 es de Teoría de Números. Ya lo habíamos demostrado para a y b positivos.
Como decía la sugerencia se calculan x e y para números positivos |a| y |b|.
Si a y b negativos tomamos -x y -y y de ahí sale el d = a(-x) +b(-y)
Si a>0 y b<=0 tomamos x y -y con lo que d = ax + b(-y)
Si a<0 y b>0 tomamos -x e y con lo que d =a(-x) + by
-------------------
2)
La demostración por sustitución no es una inducción sino una deducción. El coeficiente de x^(2n) de xJ''(x)+ J'(x)+ xJ(x) será:
{(-1)^n / [(4^n)(n!^2)]} + 2(n+1){(-1)^(n+1) / [(4^(n+1))((n+1)!^2)]} +
2(n+1)(2n+1){(-1)^(n+1) / [(4^(n+1))((n+1)!^2)]} =
Los (-1)^... nos dan el signo, el primero positivo y los otros dos negativo o viceversa. A la hora de averiguar si ese coeficiente es cero nos da lo mismo que los signos estén cambiados. Gracia a eso simplificamos algo.
1/ [(4^n)(n!^2)]} - 2n / [(4^(n+1))((n+1)!^2)]} - 2n(2n-1)/ [(4^(n+1))((n+1)!^2)]} =
[4(n+1)^2 - 2n - 2n(2n-1)] / [(4^(n+1))((n+1)!^2)]
Y el numerador es:
4n^2 + 8n + 4 - 2n - 2 - 4n^2 - 6n - 2 = 0
Luego cualquier coeficiente del polinomio de xJ''(x)+ J'(x)+ xJ(x) es cero y el polinomio es cero.
Esto era lo que no querías que demostrara, pero yo no me quedaba tranquilo sin hacerlo.
Y lo que quieres es demostrarlo sin hacer las sustituciones.
¡Bueno, pues si!
Si J cumple
xJ''(x)+ J'(x)+ xJ(x) = 0
es porque J es una solución de la ecuación diferencial
xy'' + y' + xy = 0
y'' + y'/x + y = 0
Es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo grado con coeficientes variables, que nunca he hecho ninguna ni la haré.
Aunque parezca mentira, esa expresión que parece tan sencilla, en una ecuación diferencial es un escollo de aquí te espero.
Menos mal que hay un programa llamado Máxima que me dice que la solución general es:
y = k1 · bessel_y(0, x) + k2 · bessel_j(0, x)
La función bessel_j(v, z) =
= Sumatorio desde k=0 a infinito de [(-1)^k · 2^(-v-2k) · z^(v+2k)] / [k!·gamma(v+k+1)]
La función bessel_y(v,z) = [cos(PI·v) · bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z)] / sen(PI · v)
La función gamma(z) = Integral definida entre 0 e infinito de t^(z-1)·e^(-t) dt.
Pues lo que te decía, que las soluciones no son nada sencillas precisamente.
Para empezar, la bessel_y no nos aparece porque no hay senos ni cosenos en J, luego k1=0 y quedaría:
y = k2·bessel_j(0,x)
Creo que J tampoco tiene una constante k2, si me qequivoco ya la volveremos a poner. Escribamos como quedaría la Bessel_j(0, x)
y = Sumatorio k=0 a infinito de [(-1)^k · 2^(-2k) · x^(2k)] / [k! gamma(k+1)]
El el afán de asemejar esto a J vamos a poner 2^(-2k) como 1/[2^(2k)] = 1 / (4^k)
y queda
y = Sumatorio k=0 a infinito de [(-1)^k · x^(2k)] / [(4^k)· k! · gamma(k+1)]
Y ya solo nos falta ir a la wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Función_gamma
donde nos dice que para números enteros se cumple gamma (n+1) = n!
Con esto queda
y = Sumatorio k=0 a infinito de [(-1)^k · x^(2k)] / [(4^k)· (k!)^2]
Que es exactamente la función que habíamos llamado J.
Pues eso, quien hizo este problema lo que hizo fue (sabiendo o resolviendo) la ecuación diferencial xy'' + y' + xy = 0, tomo la solución J más simple que se podía tomar por cierto, y la exhibió por los circos como un hecho mágico sobrenatural. Eso es todo.
Por supuesto que al nacer J de esa manera no es necesario demostrar que cumple
xJ'' + J' + xJ = 0 ya que para eso fue diseñada.
Pero nunca está de más hacerlo para asegurarse que se ha resulelto bien la ecuación diferencial.
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Cuando dije cinco puntos quería decir cinco estrellas. Los puntos que te adjudican son estos:
5 estrellas = 400 puntos
4 estrellas = 300 puntos
3 estrellas = 180 puntos
2 estrellas = 60 puntos
1 estrella = 20 puntos
0 estrellas = 0
Luego te restan si pasas de 12, 24, 36, etc horas en contestar. A mi me ha pasado varias veces que me den 375 en vez de 400 por eso y aun podrían haber sido menos si hubiera tardado más en contestar.
Mis puntos actuales son: 153392
Mis puntos totales son: 200126
Respuestas en matemáticas (que son casi todas) = 533
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Y eso es todo. Muy complicado el problema segundo incluso para mí a estas alturas, pero espero te sirva de algo