Anónimo
Integral curvilínea
Hola! Tengo una duda acerca del sentido de la parametrización de la frontera de A=[(x,y)€R²: x²=y=1]. No te pide ningún sentido específico del cálculo de la circulación. La circulación de la curva de la parábola ya la calculamos en clase en sentido positivo con parametrización a1(t)=(t, t²) t€[-1,1] y daba 0, pero en la integral curvilínea de la recta, tengo apuntado que la parametrización debe de ir de menos a más, entonces elige esta parametrización de la recta: a2(t)=(-t, 1) con t€[-1,1]. Mi duda es por qué elige esta parametrización y de dónde sale, ¿no se supone que t tendría que ir de 1 a -1?
Muchas gracias por la atención :)
Muchas gracias por la atención :)
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Entiendo que quieres hacer la integral curvilinea de una función a traves de una figura que es la parábola y = x^2 desde x=-1 a x=1 y la recta y=1 en en intervalo [-1,1].
Y que ya has parametrizado la parábola comenzando en el punto (-1, 1) y has llegado al punto (1, 1). Ahora para completar la curva tienes que llegar de (1,1) a (-1, 1).
Pues eso es precisamente lo que hace la parametrización a2 que pones:
a2(t) = (-t,1) con t€[-1, 1]
Comienza con el valor t=-1 y entonces a2(t) = (-(-1), 1) = (1,1) y te irá llevando por la recta y=1 en sentido contrario a las agujas hasta que en el valor t=1 llegues a a2(t) = (-1,1) que fue el comienzo de la curva.
No sé si te queda alguna duda, consultámela si es así. Si no, no olvides puntuar.
Y que ya has parametrizado la parábola comenzando en el punto (-1, 1) y has llegado al punto (1, 1). Ahora para completar la curva tienes que llegar de (1,1) a (-1, 1).
Pues eso es precisamente lo que hace la parametrización a2 que pones:
a2(t) = (-t,1) con t€[-1, 1]
Comienza con el valor t=-1 y entonces a2(t) = (-(-1), 1) = (1,1) y te irá llevando por la recta y=1 en sentido contrario a las agujas hasta que en el valor t=1 llegues a a2(t) = (-1,1) que fue el comienzo de la curva.
No sé si te queda alguna duda, consultámela si es así. Si no, no olvides puntuar.
Ok!, lo del sentido que me has explicado lo he entendido, muchas gracias!, pero la parametrización de la recta a2(t)=(-t, 1), ¿cómo se calcularía?, yo intente a boleo buscar los puntos inicial y final de la recta para que me diera esta parametrización, y me dio a2(t)=(0,1)+t[ (-1,1)-(0,1) ] = (-t, 1), pero pienso que eso no es muy razonable, ya que la línea esta comprendida entre los puntos (-1,1) y (1,1).
La parametrización es una función a2 de R en RxR
a2(t) = (x(t), y(t))
La parametrización de una recta se puede hacer (y se hace) tomando un punto inicial de la recta al que se suma el vector director multiplicado por la variable t.
Para un punto inicial (x(0), y(0)) y vector (a, b) sería esta:
r(t) = (x(0),y(0)) + t(a,b) = (x(0) + ta, y(0) + tb)
En nuestro caso el vector director unitario es (-1,0) porque es el que nos llevaría desde el punto (1,1) hasta (-1,0)
r(t) = (1, 1) + t(-1, 0) = (1 - t, 1+0t) = (1-t , 1)
Se puede comprobar como nos lleva dese (1,1) hasta (-1,1)
r(0) = (1-0, 1) = (1, 1)
r(1/2) = (1-1/2, 1 = (1/2, 1)
r(1) = (1-1, 1) = (0,1)
r(3/2) = (1-3/2, 1) = (-1/2, 1)
r(2) = (1-2, 1) = (-1, 1)
Vale, pues la parametrización "más natural" sería:
r(t) = (1-t, 1) con t€[0,2]
Pero eso no quiere decir que esa sea la única posible. La parametrización original que tenías a2(t ) = (-t, 1) con t € [-1 ,1] es perfectamente válida:
a2(-1) = (-(-1), 1) = (1, 1)
a2(-1/2) = (-(-1/2), 1) = (1/2, 1)
a2(0) = (-0, 1) = (0,1)
a2(1/2) = (-1/2, 1)
a2(1) = (-1, 0)
Luego nos lleva desde (1,1) hasta (-1,1) igual que he llamado natural la natural.
Y habría mil parametrizaciones posibles más como la de tomar como vector el punto final menos el inicia, que quizá sea lo más intuitivo.
(a,b) = (-1,1) - (1, 1) = (-1 - 1, 1 - 1) = (-2,0)
r(t) = (1, 1) + t(-2, 0) = (1 - 2t, 0)
Y esta recorrería nuestro segmento con t € [0,1] como podrías comprobar.
Y eso es todo, espero que lo veas más claro, es bastante sencillo. NO olvides puntuar.
a2(t) = (x(t), y(t))
La parametrización de una recta se puede hacer (y se hace) tomando un punto inicial de la recta al que se suma el vector director multiplicado por la variable t.
Para un punto inicial (x(0), y(0)) y vector (a, b) sería esta:
r(t) = (x(0),y(0)) + t(a,b) = (x(0) + ta, y(0) + tb)
En nuestro caso el vector director unitario es (-1,0) porque es el que nos llevaría desde el punto (1,1) hasta (-1,0)
r(t) = (1, 1) + t(-1, 0) = (1 - t, 1+0t) = (1-t , 1)
Se puede comprobar como nos lleva dese (1,1) hasta (-1,1)
r(0) = (1-0, 1) = (1, 1)
r(1/2) = (1-1/2, 1 = (1/2, 1)
r(1) = (1-1, 1) = (0,1)
r(3/2) = (1-3/2, 1) = (-1/2, 1)
r(2) = (1-2, 1) = (-1, 1)
Vale, pues la parametrización "más natural" sería:
r(t) = (1-t, 1) con t€[0,2]
Pero eso no quiere decir que esa sea la única posible. La parametrización original que tenías a2(t ) = (-t, 1) con t € [-1 ,1] es perfectamente válida:
a2(-1) = (-(-1), 1) = (1, 1)
a2(-1/2) = (-(-1/2), 1) = (1/2, 1)
a2(0) = (-0, 1) = (0,1)
a2(1/2) = (-1/2, 1)
a2(1) = (-1, 0)
Luego nos lleva desde (1,1) hasta (-1,1) igual que he llamado natural la natural.
Y habría mil parametrizaciones posibles más como la de tomar como vector el punto final menos el inicia, que quizá sea lo más intuitivo.
(a,b) = (-1,1) - (1, 1) = (-1 - 1, 1 - 1) = (-2,0)
r(t) = (1, 1) + t(-2, 0) = (1 - 2t, 0)
Y esta recorrería nuestro segmento con t € [0,1] como podrías comprobar.
Y eso es todo, espero que lo veas más claro, es bastante sencillo. NO olvides puntuar.