Anónimo
Calculo de limites
Ayuda por fa no entiendo este ejercicio por que la por tiende a 3 elevado a + afectaría al proceso del ejercicio ese +:
lim x-->3^+ (x-1/2x-4)^1/x-3
Gracias.
lim x-->3^+ (x-1/2x-4)^1/x-3
Gracias.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Creo que lo primero será escribir bien el ejercicio para que no haya confusión.
Creo que quieres decir:
lim x-->3+ de [(x-1)/(2x-4)]^[1/(x-3)]
Son necesarios todos los paréntesis porque yo no veo cuales son los numeradores y denominadores, los paréntesis son los que me lo dicen.
Si es eso confirmámelo.
Con lo del 3+ creo que querrás decir límite cunado por tiende a 3 por la derecha. Hay veces en que el límite izquierdo y el derecho no coinciden.
Espero la confirmación y si no la rectificación para resolverlo. Aunque ahora estaré unas dos horas con mis asuntos personales y no podré contestar.
Creo que quieres decir:
lim x-->3+ de [(x-1)/(2x-4)]^[1/(x-3)]
Son necesarios todos los paréntesis porque yo no veo cuales son los numeradores y denominadores, los paréntesis son los que me lo dicen.
Si es eso confirmámelo.
Con lo del 3+ creo que querrás decir límite cunado por tiende a 3 por la derecha. Hay veces en que el límite izquierdo y el derecho no coinciden.
Espero la confirmación y si no la rectificación para resolverlo. Aunque ahora estaré unas dos horas con mis asuntos personales y no podré contestar.
Saludos.
Si es como dijiste:
lim x-->3+ de [(x-1)/(2x-4)]^[1/(x-3)]
Si es como dijiste:
lim x-->3+ de [(x-1)/(2x-4)]^[1/(x-3)]
Si sustituímos el valor x = 3 nos queda
[(3-1)(6-4)]^(1/0+) = 1^(1/0+) = 1 a la +infinito
Esta es una indeterminación y hay que operar adecuadamente para despejarla. Normalmente se utiliza el número e para resolver este tipo de límites.
Recordemos que:
e = lim x-->+infinito (1+1/x)^x
Que también puede definirse así:
e = lim h-->0 de (1+h)^(1/h)
Hagamos que nuestra función sea (1+algo)^[1/(x-3)]
Hagamos lo que se llama división entera ( no sé por qué, pero eso he visto yo que lo llaman) de (x-1) entre (2x-4) pero obligando a que el cociente sea 1.
Nos va a quedar (-x+3) de resto.
Puede comprobarse que
(x-1)/(2x-4) = 1 + (-x+3)/(2x-4)
Así nuestro límite es:
lim x-->3+ de [1 + (-x+3)/(2x-4)]^[1/(x-3)]
Vemos que (-x-3)/(2x-4) -->0 cuando x-->3. Ese cociente va a desempeñar el papel de la h que tenemos en la definición de e. Pero necesitamos que en el exponente aparecza eso invertido, es decir:
si h = (-x+3) / (2x-4)
entonces 1/h = (2x-4) / (-x+3) tiene que aparecer en el exponente.
Para asemejarlo mejor a lo que ya tenemos cambiemos el signo del denominador. Y para que esto no altere el exponente lo cambiamos también en el numerador
1/h = (4-2x) / (3-x)
Vale, en el límite tenemos 1/(x-3), para que aparezca el 1/h hay que multiplicar por (4-2x), pero ya sabes que no se puede multiplicar sin dividir por lo mismo si queremos dejar las cosa igual, luego nuestro límite lo podemos dejar como
lim x-->3+ de [1 + (-x+3)/(2x-4)]^([(4-2x)/(x-3)] [1/(4-2x)])
Si lo expresamos en terminos de h es
lim x-->3+ de (1+h)^((1/h)[1/(4-2x)])
Ahora usaremos la propiedad a^(bc) = (a^b)^c para poner
lim x-->3+ de [(1+h)^(1/h)]^[1/(4-2x)])
Como h tiende a cero cuando x tiende a tres, en el primer corchete tenemos la definición del número e, luego el límite es
e^[1/(4-2·3)] = e^(-1/2) = 1/sqrt(e) = 0,6065306
Luego el valor de ese límite es 0,6065306
Y daba lo mismo calcularlo por la derecha o la izquierda porque en la definición del número e no se usaban límites laterales y en [1/(4-2x)] dan lo mismo ambos límites.
Pues eso es todo, espero que lo hallas entendido. Un poco más complicado que los problemas que me habías mandado hasta ahora si que es este. Si necesitas más aclaraciones pídelas. No olvides puntuar.
[(3-1)(6-4)]^(1/0+) = 1^(1/0+) = 1 a la +infinito
Esta es una indeterminación y hay que operar adecuadamente para despejarla. Normalmente se utiliza el número e para resolver este tipo de límites.
Recordemos que:
e = lim x-->+infinito (1+1/x)^x
Que también puede definirse así:
e = lim h-->0 de (1+h)^(1/h)
Hagamos que nuestra función sea (1+algo)^[1/(x-3)]
Hagamos lo que se llama división entera ( no sé por qué, pero eso he visto yo que lo llaman) de (x-1) entre (2x-4) pero obligando a que el cociente sea 1.
Nos va a quedar (-x+3) de resto.
Puede comprobarse que
(x-1)/(2x-4) = 1 + (-x+3)/(2x-4)
Así nuestro límite es:
lim x-->3+ de [1 + (-x+3)/(2x-4)]^[1/(x-3)]
Vemos que (-x-3)/(2x-4) -->0 cuando x-->3. Ese cociente va a desempeñar el papel de la h que tenemos en la definición de e. Pero necesitamos que en el exponente aparecza eso invertido, es decir:
si h = (-x+3) / (2x-4)
entonces 1/h = (2x-4) / (-x+3) tiene que aparecer en el exponente.
Para asemejarlo mejor a lo que ya tenemos cambiemos el signo del denominador. Y para que esto no altere el exponente lo cambiamos también en el numerador
1/h = (4-2x) / (3-x)
Vale, en el límite tenemos 1/(x-3), para que aparezca el 1/h hay que multiplicar por (4-2x), pero ya sabes que no se puede multiplicar sin dividir por lo mismo si queremos dejar las cosa igual, luego nuestro límite lo podemos dejar como
lim x-->3+ de [1 + (-x+3)/(2x-4)]^([(4-2x)/(x-3)] [1/(4-2x)])
Si lo expresamos en terminos de h es
lim x-->3+ de (1+h)^((1/h)[1/(4-2x)])
Ahora usaremos la propiedad a^(bc) = (a^b)^c para poner
lim x-->3+ de [(1+h)^(1/h)]^[1/(4-2x)])
Como h tiende a cero cuando x tiende a tres, en el primer corchete tenemos la definición del número e, luego el límite es
e^[1/(4-2·3)] = e^(-1/2) = 1/sqrt(e) = 0,6065306
Luego el valor de ese límite es 0,6065306
Y daba lo mismo calcularlo por la derecha o la izquierda porque en la definición del número e no se usaban límites laterales y en [1/(4-2x)] dan lo mismo ambos límites.
Pues eso es todo, espero que lo hallas entendido. Un poco más complicado que los problemas que me habías mandado hasta ahora si que es este. Si necesitas más aclaraciones pídelas. No olvides puntuar.