Anónimo
Problema de matemática de series
! Hola valero asm!
Me dijiste que te gusta los retos en matematica; entonces si quieres te mando un ejercicio que antes había intentado resolver pero no llegue a desarrollar el problema. Lo único que sé es la clave: 149/60
Calcule el valor del limite de:
S= 9/7 +29/7² +99/7³ +353/(7^4)+ ...
Un saludo
Me dijiste que te gusta los retos en matematica; entonces si quieres te mando un ejercicio que antes había intentado resolver pero no llegue a desarrollar el problema. Lo único que sé es la clave: 149/60
Calcule el valor del limite de:
S= 9/7 +29/7² +99/7³ +353/(7^4)+ ...
Un saludo
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
he aquí la posible fórmula de la serie 9, 29, 99, 353
a(1) = 9
a(2) = a(1)·3 + 2·1 = 9·3 + 2·1 = 29
a(3) = a(2)·3 + 4·3 = 29·3 + 12 = 87 + 12 = 99
a(4) = a(3)·3 + 8·7 = 99·3 + 56 = 297 + 56 = 353
Se supone que
a(5) = a(4)·3 + 16·15 = 353·3 + 16·15 = 1059 + 240 = 1299
La formula general sería:
a(1) = 9
a(i) = 3a(i-1) + [2^(i-1)]·[2^(i-1)-1]
ó
a(i) = 3a(i-1) + 4^(i-1) - 2^(i-1)
como se prefiera.
Se puede prescindir del elemento a(i-1) para poner todo en función de i, aunque no creo que se obtenga mucha ventaja
a(1) = 9
a(2) = 27 + 4 - 2
a(3) = 3(27 + 4 - 2) + 4^2 - 2^2
a(4) = 3[3(27+ 4 -2) + 4^2 - 2^2] + 4^3 - 2^3
a(5) = 3(3[3(27+ 4 -2) + 4^2 - 2^2] + 4^3 - 2^3) + 4^4 - 2^4 =
3^6 + 3^3(4-2) + 3^2(4^2 - 2^2) + 3(4^3 - 2^3) + 4^4 - 2^4
a(i) = 3^(i+1) + 3^(i-2)(4-2) + 3^(i-3)(16-4) + 3^(i-4)(64-8) + ...+ 3^0(4^(i-1)- 2^(i-1)
Para calcular la suma de los términos aun habría que dividir cada a(i) entre 7^i y luego hacer la suma. Ciertamente que por el momento estoy muy lejos de obtener el resultado de esa suma. Lo que he hecho es verificarficar que la respuesta que me das está bien, lo cual indicaría también si hemos acertado con la serie a elegida.
Eso lo he hecho con este miniprograma en RealBasic:
Sub action()
dim n, i as integer
dim a, s as double
n=val(EditField1.text)
a=9
s= a/7
for i= 2 to n
a=3*a+4^(i-1)-2^(i-1)
s= s + a/(7^i)
next
StaticText1.text = str(s)
StaticText2.text =str(s*60)
End sub
Action es la subrutina asociada a pulsar el botón de inicio que hay en el formulario.
EditField1 es 1 campo de edición donde introducimos el número de términos de la serie que vamos a sumar
StaticText1 es un campo no editable donde introducimos el resultado de esa suma
StaticText2 es otro campo no editable donde introducimos el resultado multiplicado por 60, debería tender al numerador de la respuesta que me diste.
Y ejecutado el programa y dándole algunos valores da estos resultados
n=2 1,877551 112,6531
n=4 2,313203 138,7922
n=8 2,467304 148,0383
n=16 2,48316 148,9896
n=32 2,48333 149
n=64 2,48333 149
Habrá quien diga que no es una demostración matemática, pero para mí tiene todo el valor de una demostración. Efectivamente la serie tiende a 149/60, luego están bien los coeficientes que habíamos supuesto.
Lo de demostrarlo analíticamente creo que no voy a poder, demasiado difícil creo.
Y esto sería todo de momento.
a(1) = 9
a(2) = a(1)·3 + 2·1 = 9·3 + 2·1 = 29
a(3) = a(2)·3 + 4·3 = 29·3 + 12 = 87 + 12 = 99
a(4) = a(3)·3 + 8·7 = 99·3 + 56 = 297 + 56 = 353
Se supone que
a(5) = a(4)·3 + 16·15 = 353·3 + 16·15 = 1059 + 240 = 1299
La formula general sería:
a(1) = 9
a(i) = 3a(i-1) + [2^(i-1)]·[2^(i-1)-1]
ó
a(i) = 3a(i-1) + 4^(i-1) - 2^(i-1)
como se prefiera.
Se puede prescindir del elemento a(i-1) para poner todo en función de i, aunque no creo que se obtenga mucha ventaja
a(1) = 9
a(2) = 27 + 4 - 2
a(3) = 3(27 + 4 - 2) + 4^2 - 2^2
a(4) = 3[3(27+ 4 -2) + 4^2 - 2^2] + 4^3 - 2^3
a(5) = 3(3[3(27+ 4 -2) + 4^2 - 2^2] + 4^3 - 2^3) + 4^4 - 2^4 =
3^6 + 3^3(4-2) + 3^2(4^2 - 2^2) + 3(4^3 - 2^3) + 4^4 - 2^4
a(i) = 3^(i+1) + 3^(i-2)(4-2) + 3^(i-3)(16-4) + 3^(i-4)(64-8) + ...+ 3^0(4^(i-1)- 2^(i-1)
Para calcular la suma de los términos aun habría que dividir cada a(i) entre 7^i y luego hacer la suma. Ciertamente que por el momento estoy muy lejos de obtener el resultado de esa suma. Lo que he hecho es verificarficar que la respuesta que me das está bien, lo cual indicaría también si hemos acertado con la serie a elegida.
Eso lo he hecho con este miniprograma en RealBasic:
Sub action()
dim n, i as integer
dim a, s as double
n=val(EditField1.text)
a=9
s= a/7
for i= 2 to n
a=3*a+4^(i-1)-2^(i-1)
s= s + a/(7^i)
next
StaticText1.text = str(s)
StaticText2.text =str(s*60)
End sub
Action es la subrutina asociada a pulsar el botón de inicio que hay en el formulario.
EditField1 es 1 campo de edición donde introducimos el número de términos de la serie que vamos a sumar
StaticText1 es un campo no editable donde introducimos el resultado de esa suma
StaticText2 es otro campo no editable donde introducimos el resultado multiplicado por 60, debería tender al numerador de la respuesta que me diste.
Y ejecutado el programa y dándole algunos valores da estos resultados
n=2 1,877551 112,6531
n=4 2,313203 138,7922
n=8 2,467304 148,0383
n=16 2,48316 148,9896
n=32 2,48333 149
n=64 2,48333 149
Habrá quien diga que no es una demostración matemática, pero para mí tiene todo el valor de una demostración. Efectivamente la serie tiende a 149/60, luego están bien los coeficientes que habíamos supuesto.
Lo de demostrarlo analíticamente creo que no voy a poder, demasiado difícil creo.
Y esto sería todo de momento.
! Gracias por la ayuda!, pero conscientemente el puntaje seria para un 4 ya que la respuesta fue inconclusa, falto el procedimiento, pero considerando el grado de dificultad del problema, y las respuestas brindadas a mis preguntas, te mando 5 estrellas.
Ya que a partir del dato del dato a(i) que es una regla de correspondencia de a, puedo hallar el valor de las sumas de los números, expresando como una sumatoria y de ahí viene la parte perativa.
Un saludo.
Ya que a partir del dato del dato a(i) que es una regla de correspondencia de a, puedo hallar el valor de las sumas de los números, expresando como una sumatoria y de ahí viene la parte perativa.
Un saludo.