Matemáticas 2
Calcula y clasifica los puntos criticos de la funcion: F(x,y)=x²+2xy²+2y²
max f(x,y)=x²+3xy+y² sujeto a x+y=100
a. Resuelvelo por el método de la multiplicación de Lagrange
b. Denotando por (x*, y*) a la solucion , halla el valor optimo f*= f(x*,y*)
c. Si se cambia la restriccion dada por otra proxima como x+y=102, deduce cuanto variará aproximaamente el valor optimo f* sin volver a resolver el problema
max f(x,y)=x²+3xy+y² sujeto a x+y=100
a. Resuelvelo por el método de la multiplicación de Lagrange
b. Denotando por (x*, y*) a la solucion , halla el valor optimo f*= f(x*,y*)
c. Si se cambia la restriccion dada por otra proxima como x+y=102, deduce cuanto variará aproximaamente el valor optimo f* sin volver a resolver el problema
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Los puntos críticos son aquellos donde se anulan las dos derivadas parciales o no existen.
En este caso
&(x^2 + 2xy^2 + 2y^2)/&x = 2x + 2y^2
&(x^2 + 2xy^2 + 2y^2)/&y = 4xy + 4y
de la primera deducimos x = -y^2 sustituimos eso en la segunda
-4y^3 + 4y = 0 ==> y = 0; x = 0
dividiendo por y
-4y^2 + 4 = 0 ==> y = +-1 ; x = -1
Los puntos son (0,0) (-1,1) (-1,-1)
Calculamos las derivadas segundas:
&2/&x^2 = 2
&2/&x&y = 4y
&2/&y^2 = 4x +4
El Hessiano es 2(4x+4) - (4y)^2 = 8x + 8 - 16y^2
En (0,0) el Hessiano es 8 y &2/&x^2 = 2. Ambos positivos, es un mínimo
En (-1,1) el Hessiano es -8 + 8 - 16 = -16 Es un punto de silla
En (-1,-1) el Hessiano es -8 + 8 - 16 = -16 Es otro punto de silla
--------------
a)
¿De verdad hay que hacerlo con los multiplicadores de Lagrange? ¡Que pena de vida!
En la literatura se usa la letra griega lambda para el multiplicador, aquí nos conformaremos con L.
El método consiste en hallar los máximos de la función:
h(x,y,L) = x^2 + 3xy + y^2 - L(x + y - 100)
Para lo que igulamos a cero las derivadas parciales y usaremos también la ecuación de la restricción:
&h/&x = 2x + 3y - L = 0
&h/&y = 3x + 2y - L = 0
Si la primera la cambiamos de signo y sumamos a la segunda queda
x - y = 0 ==> x = y
Y la de restricción quedaría 2x = 100 ==> x =50, y = 50 , L = 250
El máximo de f(x, y) está en (50,50)
b)
Su valor es f(50,50) = 50^2 + 3·50·50 + 50^2 = 2500 + 7500 + 2500 = 12500
c)
Aquí no sé si usareis alguna cosilla especial que yo no sé.
Lo que yo veo es que el máximo va a estar en (51,51) y el valor será 5*51^2 = 13005
O también veo lo que veía desde un principio, que la función f podía expresarse como:
f(x,y) = (x+y)^2 + xy
Y que las dos variables desempeñaban igual papel, luego el máximo debía ser el mismo para las dos.
Entonces el máximo para x + y = 102 debia ser
102^2 + 51*51 = 10404 + 2601 = 13005
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. NO olvides puntuar para cerra la pregunta.
En este caso
&(x^2 + 2xy^2 + 2y^2)/&x = 2x + 2y^2
&(x^2 + 2xy^2 + 2y^2)/&y = 4xy + 4y
de la primera deducimos x = -y^2 sustituimos eso en la segunda
-4y^3 + 4y = 0 ==> y = 0; x = 0
dividiendo por y
-4y^2 + 4 = 0 ==> y = +-1 ; x = -1
Los puntos son (0,0) (-1,1) (-1,-1)
Calculamos las derivadas segundas:
&2/&x^2 = 2
&2/&x&y = 4y
&2/&y^2 = 4x +4
El Hessiano es 2(4x+4) - (4y)^2 = 8x + 8 - 16y^2
En (0,0) el Hessiano es 8 y &2/&x^2 = 2. Ambos positivos, es un mínimo
En (-1,1) el Hessiano es -8 + 8 - 16 = -16 Es un punto de silla
En (-1,-1) el Hessiano es -8 + 8 - 16 = -16 Es otro punto de silla
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a)
¿De verdad hay que hacerlo con los multiplicadores de Lagrange? ¡Que pena de vida!
En la literatura se usa la letra griega lambda para el multiplicador, aquí nos conformaremos con L.
El método consiste en hallar los máximos de la función:
h(x,y,L) = x^2 + 3xy + y^2 - L(x + y - 100)
Para lo que igulamos a cero las derivadas parciales y usaremos también la ecuación de la restricción:
&h/&x = 2x + 3y - L = 0
&h/&y = 3x + 2y - L = 0
Si la primera la cambiamos de signo y sumamos a la segunda queda
x - y = 0 ==> x = y
Y la de restricción quedaría 2x = 100 ==> x =50, y = 50 , L = 250
El máximo de f(x, y) está en (50,50)
b)
Su valor es f(50,50) = 50^2 + 3·50·50 + 50^2 = 2500 + 7500 + 2500 = 12500
c)
Aquí no sé si usareis alguna cosilla especial que yo no sé.
Lo que yo veo es que el máximo va a estar en (51,51) y el valor será 5*51^2 = 13005
O también veo lo que veía desde un principio, que la función f podía expresarse como:
f(x,y) = (x+y)^2 + xy
Y que las dos variables desempeñaban igual papel, luego el máximo debía ser el mismo para las dos.
Entonces el máximo para x + y = 102 debia ser
102^2 + 51*51 = 10404 + 2601 = 13005
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. NO olvides puntuar para cerra la pregunta.
