¿Pregunta volumen cilindro?
Halla la masa M del cilindro solido C: x^2 + y^2 <= ro^2 de altura h (consideramos 0 <= z <= h) cuya densidad ? Es directamente proporcional a la distancia al eje del cilindro.
?(x,y,z) = ?o· v(x^2 + y^2), con ?o una constante. Recuerda que la masa viene dada por la integral
M = ? ? ? ?(x,y,z)dxdydz
?(x,y,z) = ?o· v(x^2 + y^2), con ?o una constante. Recuerda que la masa viene dada por la integral
M = ? ? ? ?(x,y,z)dxdydz
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Ay es que no sabia como se corregía y estaba peleándome con la página!
¿Dónde pone?(x, y, z), la interrogación es el signo lamda, se quedaría:
Lamda(x,y,z) = Lamda sub 0 · raiz(x^2 + y^2),
y las 3 primeras interrogaciones de M son los simbolos de la integrogación
M = Int. Int. Int. Lamda(x,y,z)dxdydz
Espero que haya quedado un poco más claro
¿Dónde pone?(x, y, z), la interrogación es el signo lamda, se quedaría:
Lamda(x,y,z) = Lamda sub 0 · raiz(x^2 + y^2),
y las 3 primeras interrogaciones de M son los simbolos de la integrogación
M = Int. Int. Int. Lamda(x,y,z)dxdydz
Espero que haya quedado un poco más claro
Por lo que intuyo con los signos que faltan la densidad depende solo de la distancia al eje. Como has usado una letra griega para la densidad, ha desaparecido, yo la llamare d. También has usado algo raro para la constantey también ha volado, yo la llamaré k.
Además usaré sqrt para la raíz cuadrada, la v no es conveniente usarla para eso. Con todo ello la fórmula ilegible será esta
d(x,y,z) = k · sqrt(x^2 + y^2)
Luego en la fórmula de la masa ya es el acabose, aparecen 4 interrogaciones y vete a saber. Supongo que tres de ellas son de la integral triple y la otra será la de la función densidad, que en mi notación sería esto.
M=$$$d(x,y,z)dxdydz
Las integrales triples están muy bien así como los jacobianos y todo lo característico del análisis de varias variables, pero allá donde yo puedo obtener iguales resultados haciendo uso de una sola variable me decanto por esto.
Vamos a tomar unos diferenciales del cilindro e integrarlos para calcular la masa. Tomaremos estos diferenciales de modo que sea sencillo calcular la masa de cada uno de ellos. Y la naturaleza del problema nos dice que hay que tomar circunferencias concéntricas ampliadas en la altura, ya que todos esos puntos tienen la misma densidad.
Vale, ya me llegó el enunciado correcto. Continuo con el problema, que tampoco creas que lo tengo resuelto inmediatamente aunque sé por donde ir.
Además usaré sqrt para la raíz cuadrada, la v no es conveniente usarla para eso. Con todo ello la fórmula ilegible será esta
d(x,y,z) = k · sqrt(x^2 + y^2)
Luego en la fórmula de la masa ya es el acabose, aparecen 4 interrogaciones y vete a saber. Supongo que tres de ellas son de la integral triple y la otra será la de la función densidad, que en mi notación sería esto.
M=$$$d(x,y,z)dxdydz
Las integrales triples están muy bien así como los jacobianos y todo lo característico del análisis de varias variables, pero allá donde yo puedo obtener iguales resultados haciendo uso de una sola variable me decanto por esto.
Vamos a tomar unos diferenciales del cilindro e integrarlos para calcular la masa. Tomaremos estos diferenciales de modo que sea sencillo calcular la masa de cada uno de ellos. Y la naturaleza del problema nos dice que hay que tomar circunferencias concéntricas ampliadas en la altura, ya que todos esos puntos tienen la misma densidad.
Vale, ya me llegó el enunciado correcto. Continuo con el problema, que tampoco creas que lo tengo resuelto inmediatamente aunque sé por donde ir.
O sea, que tomamos el cilindro como la suma de unos canutillos de papel de water infinitamente delgados.
Suponiendo constante la densidad dentro del canutillo por ser muy delgado, la masa de cada uno de ellos será:
dM = PI · [(r+dr)^2 - r^2)] · h · densidad
Donde dr es el grosor del canutillo que es el el incremento del radio.
dM = PI·(r^2 + 2·r·dr + dr^2 - r^2) · h · densidad
dM = PI (2·r·dr + dr^2) · h · densidad
La densidad es una función del radio puesto que el radio es precisamente sqrt(x^2+y^2) que es lo que aparece en la fórmula. O sea que la densidad que consideramos uniforme en est canutillo es:
Lambda0 · r
dM = Pi(2 · r · dr + dr^2) · h · Lambda0 · r
Ahora vamos a integrar y nos deshacemos del dr^2 por ser un infinitésimo de orden 2 que es despreciable cuando dr tiende a cero
Nos quea
M = $ 2· Pi · Lambda0 · h ·(r^2) dr
Esta integral tiene limites 0 y R, donde R el radio del dilindro. Son todo constantes salvo r^2 dr cuya integral es (r^3)/3
Y se ve perfectamente que en cero vale cero y danos ya el resultado final
M = (2/3) · PI · Lambda0 · h · R^3
Suponiendo constante la densidad dentro del canutillo por ser muy delgado, la masa de cada uno de ellos será:
dM = PI · [(r+dr)^2 - r^2)] · h · densidad
Donde dr es el grosor del canutillo que es el el incremento del radio.
dM = PI·(r^2 + 2·r·dr + dr^2 - r^2) · h · densidad
dM = PI (2·r·dr + dr^2) · h · densidad
La densidad es una función del radio puesto que el radio es precisamente sqrt(x^2+y^2) que es lo que aparece en la fórmula. O sea que la densidad que consideramos uniforme en est canutillo es:
Lambda0 · r
dM = Pi(2 · r · dr + dr^2) · h · Lambda0 · r
Ahora vamos a integrar y nos deshacemos del dr^2 por ser un infinitésimo de orden 2 que es despreciable cuando dr tiende a cero
Nos quea
M = $ 2· Pi · Lambda0 · h ·(r^2) dr
Esta integral tiene limites 0 y R, donde R el radio del dilindro. Son todo constantes salvo r^2 dr cuya integral es (r^3)/3
Y se ve perfectamente que en cero vale cero y danos ya el resultado final
M = (2/3) · PI · Lambda0 · h · R^3
