Anónimo
Hallar los datos de la parábola
Como hallo el vértice el ancho focal la ec de la directriz de estas ecuaciones
y^2+4y+4x+12=0
5x^2+5x+2y-1=0
x^2-4y-2=0
y^2-32y-24x-32=0
y^2+4y+4x+12=0
5x^2+5x+2y-1=0
x^2-4y-2=0
y^2-32y-24x-32=0
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
No tenía yo estos cálculos en mis libros. Los he sacado de
http://zeth.ciencias.uchile.cl/~manramirez/apuntes/geometria/geometria%20_analitica/parabola.pdf
Que es un estudio bastante completo.
Dice que la ecuación canónica de una parábola tiene estas dos formas:
a) y^2 = 2px
Tiene el vértice en (0,0), el foco en (p/2, 0) y la directriz es x = -p/2
b) x^2 = 2py
Tiene el vértice en (0,0), el foco en (0,p/2) y directriz y = -p/2
También dice en otro punto que el ancho focal es |2p|
una parabola con vertice (a,b) se obtiene por traslación de la canónica
(y-b)^2 = 2p(x-a)
(x-a)^2 = 2p(y-b)
El método para calcular el vértice es poner nuestra ecuación en una de esas formas. Se llama "completar cuadrados"
Vamos a hacerlo con las ecuaciones del ejercicio
a) y^2+4y+4x+12=0
Para incorporar todo que tiene y a un cuadrado, es decir,
y^2 + 4y,
dicho cuadrado debe ser
(y+2)^2 = y^2 + 4y +4.
La diferencia, que será
y^2+4y+4x+12 - (y^2 + 4y +4) = 4x+8
la pasaremos al otro lado, quedando
(y+2)^2 = -4x -8
(y+2)^2 = 2(-2)(x+2)
Tenemos el vertice = (-2, -2)
p = -2
ancho focal = 4
directriz de la canónica x= -p/2 = -(-2)/2 = 1
Como la traslación en x del vértice es -2 eso mismo debemos trasladar la directriz
directriz x=-1
---------
b) 5x^2+5x+2y-1=0 Dividimos primero por 5
x^2 + x +2y/5 - 1/5 = 0
El cuadrado debe ser (x+1/2)^2 = x^2 + x + 1/4
La diferencia es x^2 + x + 2y/5 - 1/5 - (x^2 + x + 1/4) = 2y/5 - 9/20
(x+1/2)^2 = -2y/5 + 9/20 = 2(-1/5)(y - 9/8)
(x+1/2)^2 = 2(-1/5)(y - 9/8)
El vértice es (-1/2, 9/8)
Ancho focal = 2
Directriz de la canónica y= -(-1/5)/2 = 1/10
La traslación de la parabola en el eje Y es 9/8, luego la directriz es
y = 1/10 + 9/8 = 98/80 = 49/40
Directriz: y = 49/40
-------
x^2 - 4y - 2 = 0
No hace falta completar cuadrados
x^2 = 4y +2 = 2(2)(y + 1/2)
Vértice (0, -1/2)
p = 2
Ancho focal = 4
directriz de la canonica y = -2/2 = -1
Como se ha trasladado -1/2 en el eje Y tenemos
Directriz: y = -3/2
-----------
y^2-32y-24x-32=0
El cuadrado a completar será (y -16)^2 = y^2 - 32y + 256. Dándole otro enfoque a la forma de operar: Si a la izquierda tenemos que sumar 256 también a la derecha lo sumamos y los términos salvo el cuadrado pasan a la derecha
y^2 -32y + 256 = 256 + 24x + 32
(y-16)^2 = 24x + 288 = 2(12)(x+12)
(y-16)^2 = 2(12)(x+12)
El vértice es (-12, 16)
p = 12
Ancho focal = 24
Directriz canónica: x = -p/2 = -12/2 = -6
Como la traslación en el eje X es -12 tenemos x = -6 -12 = -18
Directriz: x= -18
----------------
Hemos hecho unas cuentas en que solo trasladábamos en el eje POR o Y. Eso es válido para rectas de la forma x=a o y=b pero par lo demás no vale. Si por ejemplo nos hubieran pedido las coordenadas del foco, tendríamos que haber calculado el canónico y trasladarlo tanto en por como en y con las mismas cifras que se traslada el vértice.
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http://zeth.ciencias.uchile.cl/~manramirez/apuntes/geometria/geometria%20_analitica/parabola.pdf
Que es un estudio bastante completo.
Dice que la ecuación canónica de una parábola tiene estas dos formas:
a) y^2 = 2px
Tiene el vértice en (0,0), el foco en (p/2, 0) y la directriz es x = -p/2
b) x^2 = 2py
Tiene el vértice en (0,0), el foco en (0,p/2) y directriz y = -p/2
También dice en otro punto que el ancho focal es |2p|
una parabola con vertice (a,b) se obtiene por traslación de la canónica
(y-b)^2 = 2p(x-a)
(x-a)^2 = 2p(y-b)
El método para calcular el vértice es poner nuestra ecuación en una de esas formas. Se llama "completar cuadrados"
Vamos a hacerlo con las ecuaciones del ejercicio
a) y^2+4y+4x+12=0
Para incorporar todo que tiene y a un cuadrado, es decir,
y^2 + 4y,
dicho cuadrado debe ser
(y+2)^2 = y^2 + 4y +4.
La diferencia, que será
y^2+4y+4x+12 - (y^2 + 4y +4) = 4x+8
la pasaremos al otro lado, quedando
(y+2)^2 = -4x -8
(y+2)^2 = 2(-2)(x+2)
Tenemos el vertice = (-2, -2)
p = -2
ancho focal = 4
directriz de la canónica x= -p/2 = -(-2)/2 = 1
Como la traslación en x del vértice es -2 eso mismo debemos trasladar la directriz
directriz x=-1
---------
b) 5x^2+5x+2y-1=0 Dividimos primero por 5
x^2 + x +2y/5 - 1/5 = 0
El cuadrado debe ser (x+1/2)^2 = x^2 + x + 1/4
La diferencia es x^2 + x + 2y/5 - 1/5 - (x^2 + x + 1/4) = 2y/5 - 9/20
(x+1/2)^2 = -2y/5 + 9/20 = 2(-1/5)(y - 9/8)
(x+1/2)^2 = 2(-1/5)(y - 9/8)
El vértice es (-1/2, 9/8)
Ancho focal = 2
Directriz de la canónica y= -(-1/5)/2 = 1/10
La traslación de la parabola en el eje Y es 9/8, luego la directriz es
y = 1/10 + 9/8 = 98/80 = 49/40
Directriz: y = 49/40
-------
x^2 - 4y - 2 = 0
No hace falta completar cuadrados
x^2 = 4y +2 = 2(2)(y + 1/2)
Vértice (0, -1/2)
p = 2
Ancho focal = 4
directriz de la canonica y = -2/2 = -1
Como se ha trasladado -1/2 en el eje Y tenemos
Directriz: y = -3/2
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y^2-32y-24x-32=0
El cuadrado a completar será (y -16)^2 = y^2 - 32y + 256. Dándole otro enfoque a la forma de operar: Si a la izquierda tenemos que sumar 256 también a la derecha lo sumamos y los términos salvo el cuadrado pasan a la derecha
y^2 -32y + 256 = 256 + 24x + 32
(y-16)^2 = 24x + 288 = 2(12)(x+12)
(y-16)^2 = 2(12)(x+12)
El vértice es (-12, 16)
p = 12
Ancho focal = 24
Directriz canónica: x = -p/2 = -12/2 = -6
Como la traslación en el eje X es -12 tenemos x = -6 -12 = -18
Directriz: x= -18
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Hemos hecho unas cuentas en que solo trasladábamos en el eje POR o Y. Eso es válido para rectas de la forma x=a o y=b pero par lo demás no vale. Si por ejemplo nos hubieran pedido las coordenadas del foco, tendríamos que haber calculado el canónico y trasladarlo tanto en por como en y con las mismas cifras que se traslada el vértice.
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