¿Ayuda con estos limites?

Lim cuando por tiende a cero de ((1/x)(ln de raíz cuad de ((1+x)/(1-x))
llegue hasta lim cuando x tiende a cero de 1/2 ln(e/(1-x) elevado a 1/x) elevado a 1/2
Debo resolverlo sin derivar solo utilizando propiedades de limites, trigonometría y álgebra
El otro ejercicio es lim cuando x tiende a a de ((x-a)/(1-e elevado a (x-a))elevado a x) siendo a mayor que cero
Solamente el numero neperiano se eleva a (x-a)
De igual manera no debería derivar nada para resolverlo
Estaría muy agradecida si pudieran ayudarme gracias!
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1 Respuesta

5.848.400 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...
Ya descubrí que el primero tiene como límite e. Lo que pasa que ahora tengo que hacer otras cosas. Dentro de una horas te demuestro el porqué e intento el otro.
Perdón, por las prisas puse que el límite era e, no es así, me faltaba dar el último paso, el limite es 1. Ya me pongo a transcribir la demostración. Es lo peor de todo, escribir aquí sin poder hacerlo como se haría a mano, queda muy poco claro y por eso intentaré economizar algunos pasos.
Por la spropiedades de los logaritmos, sabemos que:
a·log b = log (b^a)
Por otro lado, la raíz cuadrada sqrt(a) = a^(1/2)
De la combinación de ambos tenemos que nuestro límite es:
lim x --> 0 de ln ([(1+x)/(1-x)]^[1/(2x)])
Hagamos la que llaman "división larga" de 1+x entre 1- x con cociente 1, nos quedará que
(1+x)/(1-x) = 1 + 2x/(1-x) con lo que el límite será ahora
lim x-->0 de ln ([1 + 2x/(1-x)]^[1/(2x)])
Sabiendo que lim h-->0 de (1+h)^(1/h) = e, vamos a actuar sobre el exponente para que en parte tenga el inverso de lo mismo que lo que se suma al 1, es decir, que tenga (1-x)/2x. Para ello bastará con multiplicar y dividir el exponente por (1-x), quedando:
lim x-->0 de ln {[1 + 2x/(1-x)]^([(1-x)/(2x)][1/(1-x)])}
Antes decíamos que lim h-->0 (1+h)^(1/h) = e pero podemos sustituir h por una función que tienda a cero
lim f(x) --> 0 de [1+f(x)]^[1/f(x)] = e [1]
Si llamas f(x) = 2x/(1-x) tienes f(x) -->0 cuando x --> 0 y nuestro límite es
lim x-->0 de ln {[1+f(x)]^([1/f(x)][1/(1-x)])}
Otra propiedad de la exponenciación es
a^(bc) = (a^b)^c y eso hace que nos quede:
lim x-->0 de ln {([1+f(x)]^[1/f(x)])^[1/(1-x)])} = y recordando lo que deciamos en [1] ya tomamos el límite y queda
= ln(e^(1/(1-0)) = ln e = 1
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El segundo nada de nada, es una expresión que no se le puede meter mano. Si no usamos la regla de l'Hôpital mal podrá hacerse.
Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hallas entendido. Si tienes alguna duda me la cuentas y si no puntúa para cerrar la pregunta.

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