Series numéricas
Serias tan amable de resolver estas series:
1. Determine el radio de convergencia de la serie:
sumatoria desd n=1 a infinito de X^n/2+n^2
2. Series de potencia de
Integral de 0 a por de e^(-t^2)
1. Determine el radio de convergencia de la serie:
sumatoria desd n=1 a infinito de X^n/2+n^2
2. Series de potencia de
Integral de 0 a por de e^(-t^2)
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Supongo que quieres decir X^[(n/2) + (n^2)]
Usemos el criterio de d'Alambert o de Cauchy:
Lim n -->infinito u(n+1) / u(n) = x^[((n+1)/2) + ((n+1)^2)] / x^[(n/2)+(n^2)] =
x^(n^2 + 2n + 1 + n/2 + 1/2 - n^2 - n/2) = x^(2n + 3/2)
Cuando 0 < x < 1 el límite es 0 y converge
Cuando x = 1 el límite es 1 y no converge porque es 1+1+1+1.... --> infinito
Cuando x > 1 el límite es infinito y no converge
Con el de Cauchy no tendría que salir distinto
lim n-->infinito de raíz enésima del termino enésimo =
lim n -->ininito (X^[(n/2) + (n^2)])^(1/n) = X ^(1/2+n) dalos mismos puntos de convergencia y divergencia.
No sé si era esto lo que querías. Porque estas cosas si que no las he usado en mi vida normal después de dejar los estudios hace 27 años.
Ahora tengo que hacer propias y tardaré varias horas en ponerme con el ordenador. El segundo problema tampoco sé por donde cogerlo. ¿Hay qué calcular la integral en función de x y la serie sería el valor de esa integral en 1, 2, 3,... n? Creo que es eso, pero si me lo confirmas para cuando vuelva mejor que mejor.
Usemos el criterio de d'Alambert o de Cauchy:
Lim n -->infinito u(n+1) / u(n) = x^[((n+1)/2) + ((n+1)^2)] / x^[(n/2)+(n^2)] =
x^(n^2 + 2n + 1 + n/2 + 1/2 - n^2 - n/2) = x^(2n + 3/2)
Cuando 0 < x < 1 el límite es 0 y converge
Cuando x = 1 el límite es 1 y no converge porque es 1+1+1+1.... --> infinito
Cuando x > 1 el límite es infinito y no converge
Con el de Cauchy no tendría que salir distinto
lim n-->infinito de raíz enésima del termino enésimo =
lim n -->ininito (X^[(n/2) + (n^2)])^(1/n) = X ^(1/2+n) dalos mismos puntos de convergencia y divergencia.
No sé si era esto lo que querías. Porque estas cosas si que no las he usado en mi vida normal después de dejar los estudios hace 27 años.
Ahora tengo que hacer propias y tardaré varias horas en ponerme con el ordenador. El segundo problema tampoco sé por donde cogerlo. ¿Hay qué calcular la integral en función de x y la serie sería el valor de esa integral en 1, 2, 3,... n? Creo que es eso, pero si me lo confirmas para cuando vuelva mejor que mejor.
No tuve en cuenta los valores negativos de x. El intervalo de convergencia es (-1, 1). No sé si cabría hablar de radio de convergencia para esta serie, ya que esa expresión va asociada a las series de potencias que son las que tienen exponente n y esta tiene n^2 + n/2
-------------------------------------------
2) Llamemos I(a,b,f(t)dt) al la integral definida de f(t) entre a y b.
La serie será esta:
I(0,1,e^(-t^2)dt) + I(1,2,e^(-t^2)dt) + I(2,3,e^(-t^2)dt) +....
Y poco más se puede hacer porque e^(-t^2) no se puede integrar mediante funciones elementales.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
-------------------------------------------
2) Llamemos I(a,b,f(t)dt) al la integral definida de f(t) entre a y b.
La serie será esta:
I(0,1,e^(-t^2)dt) + I(1,2,e^(-t^2)dt) + I(2,3,e^(-t^2)dt) +....
Y poco más se puede hacer porque e^(-t^2) no se puede integrar mediante funciones elementales.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
